Wie integriere ich durch Substitution?

Question

Ich komme leider beim Stammfunktion bestimmen durch Substitution nicht weiter.

Ich hatte in meinem Versuch √50-x substituiert und dann mit -1/-1 multipliziert...

\( \int \limits_{a}^{b} \ln (\sqrt{50}-x) d x \)

Ich würde mich über eine Antwort mit dem Verfahren der Substitution freuen.

Answer 1

Hi,

Die Substitution ist richtig. Aber was meinst Du dann mit -1/(-1) ?

$$\int \ln(\sqrt{50}-x) dx $$

Subst. \(\sqrt{50}-x = u\) also \(du = -dx\)

Das führt zu:

$$-\int \ln(u) du$$

Das ist ein allgemein bekanntes Integral: \(\int \ln(x) = x\ln(x)-x\)

$$= u - u\ln(u) + c = (-x+\sqrt{50}) + (x-\sqrt{50})\ln(\sqrt{50}-x) + c $$

$$= (x-\sqrt{50})(-1+\ln(\sqrt{50}-x)) + c$$

Grüße

P.S.: Falls \(\int \ln(x)\) nicht bekannt sein sollte, dann schnell eine part. Integration mit \(\int 1\cdot\ln(x)\)

Comments

Leider verstehe ich deine Rechnung nicht. Die Stammfunktion von ln(x) ist mir aber bekannt.

Ich kenne nur den Ansatz zur Substitution:

\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(g(t)) * g^{\prime}(t) d t \)
bzw. \( \int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(g(x)) * g^{\prime}(x) d t=\int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(z) d z \)

Und ich habe -1/-1 gerechnet damit g´(t) (z´) zum Vorschein kommt...

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Ja, das ist prinzipiell dasselbe.

Du erweiterst den Integranden mit -1/(-1) und ziehst den Zähler (oder Nenner ist ja hier dasselbe) vor das Integral. Dann hast Du genau die von Dir genannte Form vorliegen, wobei -1 = g'(x) ;).

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Jetzt hab ich es endlich verstanden. Danke ;)