Wie Integriere mit Hilfe von Substitution?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion g(x)= \( \frac{1}{3} \)*x-\( x^{2} \)+x*\( \sqrt{x^{2} +1} \).

Die ersten zwei Therme habe ich bereits richtig aufgeleitet. Jetzt habe ich aber das Problem x*\( \sqrt{x^2+1} \) aufzuleiten. Dabei soll ich \( x^{2} \)+1 durch u ersetzten (\( x^{2} \)+1=u).

Ich habe keine Ahnung wie ich das mit Hilfe von Substitution Aufleiten soll.

Problem/Ansatz:

G(x)=\( \frac{1}{6} \)*\( x^{2} \)-\( \frac{1}{3} \)*\( x^{3} \) ...

Das ist meine bisherige Aufleitung. Der letzte Teil fehlt halt noch.

Bei diesem bräuchte ich auch Hilfe.

Answer 1

u= x^2+1

du/dx= 2x

dx= du/(2x)

=∫ x √ u du/(2x) ->x wird gekürzt

=1/2 ∫√ u du

=1/2 * 2/3  u^(3/2) +C

=1/3  u^(3/2) +C

zum Schluß noch resubstituieren

Ergebnis:

= 1/3 (x^2 + 1)^(3/2) + C

Comments

Danke für die Antwort.

Ich habe trotzdem noch ein paar Fragen.

Und zwar, warum ist es plötzlich du/dx=2x und womit wird das x in der 4. Zeile gekürzt?