Lineare Gleichung mit zwei Variablen lösen.

Question

Aufgabe:

Hey Leute, ich soll folgende Aufgabe lösen:

Bestimmen Sie alle Paare (x,y) ∈ ℤ² mit 531x + 93y = 9.

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus bestimmt: ggT(531,93) = 3.

Nun habe ich den Algorithmus rückwärts angewendet und damit bestimmt: 3 = (-7)*531 + 40*93 und daraus folgt: 9 = (-21)*531 + 120*93. Jetzt habe ich ein Paar gefunden, aber mir ist nicht klar, wie ich damit den Rest bestimmen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Das hast du doch schon prima gemacht

(-7)·531 + 40·93 = 3

Also

3·((-7)·531 + 40·93) = 9

3·(-7)·531 + 3·40·93 = 9

(-21)·531 + 120·93 = 9

Beachte aber das dieses nur ein Paar ist und du alle Paare bestimmen sollst.

Comments

Genau, aber das war ja genau meine Frage. Also wie ich die restlichen Paare bestimme.

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Du weißt hoffentlich, dass

93·531 - 531·93 = 0

3·31·531 - 3·177·93 = 0

31·531 - 177·93 = 0

Also erweiterst du deine Lösung entsprechend

(31·k - 21)·531 + (120 - 177·k)·93 = 9

Die Paare sind also

(31·k - 21, 120 - 177·k) mit k ∈ Z

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Vielen Dank :D