Wie berechne ich diese Determinante allgemein?

Question

Aufgabe:

\( \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Determinante der gegebenen ℝ^nxn Matrix berechnen. Bei einer 3x3 Matrix wäre sie 2, bei einer 4x4 -3 und bei einer 5x5 4. Wie berechne ich diese Determinante allgemein?

Comments

Da alle Zeilensummen gleich sind, ist \(n-1\) ein Eigenwert.
Wegen \(\operatorname{Rang}(A_n+I_n)=1\) ist \(-1\) ein \((n-1)\)-facher Eigenwert.
Demnach ist \(\det(A_n)=(-1)^{n-1}{\cdot}(n-1)\).

Answer 1

Bei einer 3x3 Matrix wäre sie 2, bei einer 4x4 -3 und bei einer 5x5 4.

Stelle eine Vermutung auf und beweise sie, zum Beispiel mit vollständiger Induktion.

Comments

Danke für deine Hilfe: Habe die Aufgebe mittlerweile mit Gauß-Elimination, im Sinne d3er Linearen Algebra, lösen können. Mit vollständiger Induktion bin ich jetzt nicht weiter gekommen ☺