Wie berechne ich diese Determinante allgemein?

Question

Aufgabe:

$\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Determinante der gegebenen ℝ^nxn Matrix berechnen. Bei einer 3x3 Matrix wäre sie 2, bei einer 4x4 -3 und bei einer 5x5 4. Wie berechne ich diese Determinante allgemein?

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Da alle Zeilensummen gleich sind, ist $n-1$ ein Eigenwert.
Wegen $\operatorname{Rang}(A_n+I_n)=1$ ist $-1$ ein $(n-1)$-facher Eigenwert.
Demnach ist $\det(A_n)=(-1)^{n-1}{\cdot}(n-1)$.

Answer 1

Bei einer 3x3 Matrix wäre sie 2, bei einer 4x4 -3 und bei einer 5x5 4.

Stelle eine Vermutung auf und beweise sie, zum Beispiel mit vollständiger Induktion.

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Danke für deine Hilfe: Habe die Aufgebe mittlerweile mit Gauß-Elimination, im Sinne d3er Linearen Algebra, lösen können. Mit vollständiger Induktion bin ich jetzt nicht weiter gekommen ☺