$$\text{Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum über } K \in{{\mathbb R, \mathbb C}} \text{ und seien } f,g \in End(V).$$
$$\text{ Endomorphismen, die untereinander kommutieren, d.h. es gelte} f \circ g = g\circ f. \text{ Sei f selbstadjungiert. Zeigen Sie:}$$
$$(a) \text{ Für alle} \lambda \in K \text{ gelten:} g(E_f(\lambda))\subseteq E_f(\lambda) \text{ und } g(E_f(\lambda)^{\perp}) \subseteq E_f(\lambda)^\perp.$$
$$(b) \text{ Ist g normal bzw. selbstadjungiert, so ist }g\mid_{E_f(\lambda)} \text{ normal bzw. selbstadjungiert.}$$ $$(c) \text{ Seien f und g selbstadjungiert. Für }\lambda, \mu \in \mathbb R \text{ definiere den simultanen Eigenraum zum Eigenwert } \lambda \text{ von f und } \mu\text{ von g durch:}$$
$$E_{f,g}(\lambda,\mu) := E_f(\lambda) \cap E_g(\mu) \text{ Dann gilt} V= *_{(\lambda,\mu)\in \mathbb R^2} E_f(\lambda,\mu).$$ (* = ein Kreis mit Orthogonal-Symbol drin (geht bei Latex irgendwie nicht)
$$ \text{ Insbesondere exisiert eine Orthonormalbasis von V aus simultanen Eigenvektoren zu f und g.}$$
$$\text{Verwenden Sie zur Lösung die folgenden Aussagen:}$$
$$ \text{(i) Ist f selbstadjungiert, so gilt } V = *_{\lambda \in \mathbb R }E_f(\lambda). $$
$$\text{(ii)} \text{ Ist g normal und gilt } g(U) \subset U \text{ und } g(U^{\perp})\subset U^\perp \text{ für } U \subset V \text{ ein Untervektorraum, so gilt } g^{ad}(U) \subset U$$
Wäre dankbar für jegliche Hilfe! :)
