Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von e_{1}^{\perp} .

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe ist der Körper \( \mathbb{R} \).
Sei \( b \) die symmetrische Bilinearform \( b(u, w)=w^{T} \cdot\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right) \cdot u \) auf \( \mathbb{R}^{3} \)

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von \( e_{1}^{\perp} \).
Wichtig: Es geht hier nicht um das Standardskalarprodukt, sondern um \( b \).

Problem/Ansatz:

Ich kann ONBs bestimmen, das ist nicht mein Problem, aber was hat es mit \( e_{1}^{\perp} \) auf sich? Der erste Einheitsvektor orthogonal? Was kann ich darunter verstehen?

Thanks :)

Comments

Es handelt sich um all diejenigen Vektoren, die (bzgl. b) senkrecht auf e₁ stehen, also um
{v∈ℝ³ | b(v,e₁)=0}

Answer 1

Mit \( e_{1}^{\perp} \) bezeichnet man den Orthogonalraum des Vektors \(e_1\), also alle Vektoren, die auf \(e_1\) orthogonal sind.

Comments

okay danke erstmal, jetzt bin ich aber noch mehr verwirrt.

Normalerweise würde ich von der Matrix ja die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, und mit den EV und dem Gram Schmidt Verfahren eine ONB erzeugen. Was muss ich aber jetzt mit e₁ machen?

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Bestimme Vektoren \(v \) mit \(b(e_1,v)=0\). Das geht doch mit Gram-Schmidt.

Answer 2

Du bestimmst zunächst zwei Vektoren \(c,d\), die bzgl. der Bilinearform \(b\) senkrecht auf \(e_1\) stehen, und die bzgl. \(b\) orthogonal zueinander sind, also

\(b(c,e_1) = b(d,e_1)= 0\) und \(b(c,d) = 0\) oder auch symbolisch

\(c\perp_b e_1\), \(d\perp_b e_1\) und \(c\perp_b d\)

Nun gilt aber, wenn du \(e_1\) in \(b\) einsetzt:

\(b(c,e_1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot c \stackrel{!}{=}0 \Rightarrow c= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\perp_b e_1\)

Für \(d\) mus nun gelten:

\(b(d,e_1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot d \stackrel{!}{=}0\)

\(b(d,c) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\cdot d \stackrel{!}{=}0\)

Eine Lösung ist

\(d= \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)

Da eine Orthonormalbasis von \(e_1^\perp\) gesucht ist, musst du \(c\) und \(d\) bzgl. \(b\) normieren:

\(b(c,c)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 4 \Rightarrow |c|_b = 2\)

\(b(d,d) =  \begin{pmatrix} -2 & -4 & 1\end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}=4\Rightarrow |d|_b = 2\)

Damit bilden \(\frac 12 c\), \(\frac 12 d\) eine ONB von \(e_1^\perp\) bzgl. \(b\).