Hier noch eine Lösung, die mit Eigenschaften von Exponenten bei Produkten von Polynomen arbeitet.
Gesucht ist die Anzahl der Lösungen von
\(n_1+\cdots + n_6 = 18\) mit \(0\leq n_i\leq 9\) für \(i=1,\ldots , 6\)
Jetzt atme tief durch und mach dir in Ruhe klar, dass diese Anzahl dem Koeffizienten von \(x^{18}\) im folgenden Produkt entspricht:
\((1+x+\cdots + x^9)^6\)
Diesen Koeffizienten kann man sehr leicht berechnen. Man muss nur wissen, dass gilt:
\(\frac 1{(1-x)^{n+1}} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}x^k\)
Für das Herausziehen des Koeffizienten zur Potenz \(x^{18}\) benutze ich folgende Schreibweise:
\([x^{18}]\left((1+x+\cdots x^9)^6\right) = [x^{18}]\left(\frac{(1-x^{10})^6}{(1-x)^6}\right) = \ldots\)
Achtung: Jetzt werden alle Terme weggeschmissen, mit denen man nicht \(x^{18}\) erzeugen kann:
\(\ldots = [x^{18}]\left((1-6 x^{10})\sum_{k=0}^{\infty}\binom{5+k}{k}x^k\right)= \binom{5+18}{18}-6\binom{5+8}{8} =\boxed{25927}\)
