Aloha :)
zu 1) Für \(A\in\mathbb K^{m\times n}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt \((A+B)^H\in\mathbb K^{n\times m}\).
Wir betrachten das Element \((A+B)^H_{ik}\) der hermiteschen Summenmatrix mit \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,m\):
$$(A+B)^H_{ik}=\overline{(A+B)}_{ki}=\overline{A_{ki}+B_{ki}}=\overline A_{ki}+\overline B_{ki}=A_{ik}^H+B_{ik}^H$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Summenmatrix richtig ist, gilt: $$(A+B)^H=A^H+B^H$$
zu 2) Für \(A\in\mathbb K^{m\times n}\) und \(B\in\mathbb K^{n\times p}\) gilt \(AB\in\mathbb K^{m\times p}\) bzw. \((AB)^T\in\mathbb K^{p\times m}\).
Wir betrachten das Element \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,p\) und \(k=1,\ldots,m\):
$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^n a_{kj}\cdot b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^n b_{ji}\cdot a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^n (B^T)_{ij}\cdot(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Produktmatrix richtig ist, gilt: \((AB)^T=B^TA^T\).
