Aufgabe 1 Listen Sie alle Elemente der Menge \( \left\{A \subseteq \mathbb{N} \mid \sum \limits_{a \in A} a=2\right\} \) auf. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. (Zur Erinnerung: Wir fassen auch 0 als natürliche Zahl auf.)
Aufgabe 2
Seien \( X \) und \( Y \) Mengen und sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung. Seien zudem \( A \) und \( B \) Teilmengen von \( X \). Zeigen Sie, dass die Gleichung \( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \) im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe 3 :
Seien \( G \) und \( H \) Gruppen und sei \( f: G \rightarrow H \) eine bijektive Abbildung mit der Eigenschaft, dass \( f\left(g g^{\prime}\right)=f(g) f\left(g^{\prime}\right) \) für alle \( g, g^{\prime} \in G \) gilt. Zeigen Sie, dass die inverse Abbildung \( f^{-1}: H \rightarrow G \) diese Eigenschaft auch besitzt, also dass \( f^{-1}\left(h h^{\prime}\right)=f^{-1}(h) f^{-1}\left(h^{\prime}\right) \) für alle \( h, h^{\prime} \in H \) gilt.
Aufgabe 4 Ist die Abbildung \( \epsilon_{2}: \mathbb{R}[x] \mapsto \mathbb{R}, f \mapsto f(2) \) linear?
Aufgabe 5 Wir betrachten die Vektoren \( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 8 \\ 3\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 14 \\ 4\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} . \) Finden Sie \( \lambda, \mu, \eta \in \mathbb{R} \) mit \( \lambda v_{1}+\mu v_{2}+\eta v_{3}=0 \)
wobei mindestens einer der drei Skalare ungleich Null sein muss.
Aufgabe 6 :
Wir betrachten die Teilmenge \( D_{2} \) von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \), die aus denjenigen Matrizen besteht, die genau einen Eintrag ungleich Null haben. Existieren \( A, B \in D_{2} \) mit \( \operatorname{rk}(A B)=\min (\operatorname{rk}(A), \operatorname{rk}(B)) ? \) Existieren \( A, B \in D_{2} \operatorname{mit} \operatorname{rk}(A B)<\min (\operatorname{rk}(A), \operatorname{rk}(B)) ? \)
Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Dimension des Kernes der Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -2 & 5 & 4 & 0\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4} \)
Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Determinante der Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{F}_{3}^{4 \times 4} \). Ist die Matrix \( A \) invertierbar?
Aufgabe 9 Sei \( A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \). Bestimmen Sie \( A^{2021} \). Hinweis: Prüfen Sie zuerst, dass \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) ist.
Aufgabe 10 :
Wir betrachten das Skalarprodukt \( \left.\langle u, v\rangle=u^{T}\left(\begin{array}{c}62 \\ 2\end{array}\right]\right) v \) auf \( \mathbb{R}^{2} \). (Sie dürfen also verwenden, dass das ein Skalarprodukt ist.) Für welche reelle Zahlen \( a \) ist \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right) \) orthogonal zu ( \( \left.\begin{array}{c}a \\ 1\end{array}\right) \) ?
