Wie überprüfe ich die Selbstjungiertheit eines Endomorphismus mithilfe von 2 gegebenen Funktionspunkten?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (2 Punkte). Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) der Endomorphismus, definiert durch \( f(1,1)=(1,-1) \) und \( f(1,2)=(t, 0) \) mit \( t \in \mathbb{R} \). Sagen Sie, für welche Werte von \( t \) der Endomorphismus \( f \) selbstadjungiert ist.

Problem/Ansatz:

… ich weiss, dass eine Funktion selbstadjungiert ist, wenn gilt: <f(v), w> = <v, f(w)>. Nun habe ich mal drauflos geschrieben:

<f(1,1), (w1,w2)> = <(1,1), f(w1, w2)> = <(1,-1), (w1, w2)> = w1-w2

<f(1,2), (w1,w2)> = <(1,2), f(w1, w2)> = <(t, 0), (w1, w2)> = tw1 + 0w2

Naja, aus diesen Informationen kann ich nicht gerade viel herauslesen. Eine andere Möglichkeit wäre, wenn man die Matrix A von f bezüglich den orthogonalen Basen irgendwie bestimmen könnte, dann wäre die Selbstjungiertheit ja relativ einfach zu überprüfen da dann A = A* (wobei A*=A^T konj. sein müsste). Jedoch, komme ich auch bei dieser Idee nicht weiter.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Du weißt, wie der Endomorphismus \(F\) auf zwei Werte wirkt:$$F\cdot\binom{1}{1}=\binom{1}{-1}\quad\text{und}\quad F\cdot\binom{1}{2}=\binom{t}{0}$$

Wir fassen das zu einer Matrixgleichung zusammen und bestimmen \(F\):$$F\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & t\\-1 & 0\end{array}\right)\quad\implies$$$$F=\left(\begin{array}{rr}1 & t\\-1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2-t & t-1\\-2 & 1\end{array}\right)$$

Da wir uns hier in \(\mathbb R\) befinden, bedeutet selbstadjungiert dasselbe wie symmetrisch.

Es muss also gelten:$$F\stackrel!=F^T\implies\left(\begin{array}{cc}2-t & t-1\\-2 & 1\end{array}\right)\stackrel!=\left(\begin{array}{cc}2-t & -2\\t-1 & 1\end{array}\right)\implies t-1=-2\implies$$$$t=-1$$

Comments

Vielend Dank <3