Extremstellen und Punktkoordinate rechnen.

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie rechnerisch die Art und Lage der Extremstellen von f. Geben Sie auch die Punktkoordinaten an.

f(x)=2x²+8x-3

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich diese Aufgabe rechnen soll. Würde mich über Antworten freuen! Vielen Dank :)

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=2x^2+8x\pink{-3}=(2x^2+8x\pink{+8})\pink{-11}=2(x^2+4x+4)-11=2(x+2)^2-11$$Da Quadratzahlen immer \(\ge0\) sind, ist das Minimum von \((x+2)^2\) gleich Null bei \(x=-2\).

Das Minimum der Funktion ist daher: \(\text{Min}(-2|f(-2))=\text{Min}(-2|-11)\)

~plot~ 2x^2+8x-3 ; [[-6|2|-12|3]] ; {-2|-11} ~plot~

Answer 2

Die Steigung an der Extremstelle ist 0. Löse die Gleichung.

Setze die Lösung in die Funktionsgleichung ein um die y-Koordinate zu berechnen.

Comments

Woher weiß man das sie 0 ist?

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Hinreichend für einen Tiefpunkt von \(f\) bei \(x_0\) ist, dass \(f\) in einem Intervall \([a,x_0)\) mit \(a < 0\) fällt und in einem Intervall \((x_0,b)\) mit \(b > 0\) steigt.

Hinreichen dafür, dass \(f\) in dem Intervall \([a,x_0)\) fällt, ist, dass dort die Steigung negativ ist. Hinreichen dafür, dass \(f\) in dem Intervall \((x_0,b)\) steigt, ist, dass dort die Steigung positiv ist.

Weil \(f\) stetig differenzierbar ist, gilt: wenn die Steigung von \(f\) im Intervall \([a,x_0)\) negativ ist und im Intervall \((x_0,b]\) positiv ist, dann muss sie \(0\) an der Stelle \(x_0\) sein.

Answer 3

"Ermitteln Sie rechnerisch die Art und Lage der Extremstellen von f. Geben Sie auch die Punktkoordinaten an."

\(f(x)=2x²+8x-3\)

Nullstellen:

\(2x²+8x-3=0\)

\(2x²+8x=3\)

\(x²+4x=1,5\)

\((x+2)^2=1,5+4=5,5  |\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+2=\sqrt{5,5}\)

\(x_1=-2+\sqrt{5,5}\)

2.)

\(x+2=-\sqrt{5,5}\)

\(x_2=-2-\sqrt{5,5}\)

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Parabel liegt "in der Mitte" der Nullstellen.

\(S_x(  \frac{-2+\sqrt{5,5}+(-2-\sqrt{5,5})}{2} )\)→\(S_x(  \frac{-2+\sqrt{5,5}-2-\sqrt{5,5})}{2}) \)→\(S_x(-2)   \)

\(f(-2)=2*(-2)²+8*(-2)-3=-11\)

\(S(-2|-11)\) ist ein Minimum, da "tiefer gelegen" als die beiden Nullstellen.