Aloha :)
Kandidaten für Extremstellen der der Funktion:$$f(x;y;z)=e^x\left(x^2+y^2+z^2+\frac34\right)$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y;z)=e^x\begin{pmatrix}x^2+y^2+z^2+\frac34+2x\\2y\\2z\end{pmatrix}$$Da \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) finden wir \(y=0\) und \(z=0\). Für \(x\) heißt das:$$0\stackrel!=x^2+2x+\frac34=(x^2+2x+1)-\frac14=(x+1)^2-\frac14\implies x=\pm\frac12-1$$Daher haben wir zwei Kandidaten für Extremstellen:\(\quad K_1(-\frac32\big|0\big|0)\quad;\quad K_2(-\frac12\big|0\big|0)\)
Zur Prüfung der Kandidaten auf Extrema, brauchen wir die Hesse-Matrix, bestehend aus allen zweiten partiellen Ableitungen. Da diese symmetrisch ist, brauchen wir "nur" 6 partielle Ableitungen zu bestimmen:$$H(x;y;z)=e^x\begin{pmatrix}x^2+y^2+z^2+2x+\frac34+2x+2 & 2y &2z\\2y & 2 & 0\\2z & 0 & 2\end{pmatrix}$$$$\phantom{H(x;y;z)}=e^x\begin{pmatrix}x^2+y^2+z^2+4x+\frac{11}{4} & 2y &2z\\2y & 2 & 0\\2z & 0 & 2\end{pmatrix}$$Wir setzen die Kandidaten ein:$$H_1\left(-\frac32\big|0\big|0\right)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{e\sqrt e} & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\quad;\quad H_2\left(-\frac32\big|0\big|0\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt e} & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$Da bei einer Diagonalmatrix die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen, erkennen wir sofort, dass \(H_1\) sowohl positive als auch einen negativen Eigenwert hat und indefinit ist. Bei \(H_2\) haben wir nur positive Eigenwerte, also ist \(H_2\) positiv definit.
Daher liegt bei \(K_1\) ein Sattelpunkt und bei \(K_2\) ein Minimum vor
Das Minimum ist allerdings nur lokal, denn \(f(-\frac12\big|0\big|0)=\frac{1}{\sqrt e}\), aber$$\lim\limits_{x\to-\infty}e^{x}\left(x^2+y^2+z^2+\frac34\right)=0$$
