Der Elektriker und die Kabel im Rohr

Question

Aufgabe:

Ein Elektriker verlegt ein Kabel mit Durchmesser 1 Zoll und ein Kabel mit Durchmesser 2 Zoll in ein Rohr mit Innendurchmesser 3 Zoll.

Er möchte zwei weitere, gleich dicke Kabel einziehen so, dass sie die beiden vorhandenen Kabel und die Rohrinnenwand berühren. Wie dick müssen diese Kabel sein?

Comments

Hat dich der Roland-Geo-Virus erfasst? :)

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Das Virus. Nein. Bevor ich es vergesse: Gefunden bei

Louis A. Graham: Ingenious mathematical problems and methods. Dover Publications, 1959, pp. 5, 61-63.

Das Problem habe er von einem Mathematiker namens Edward C. Varnum. Dessen Lösungsidee: Er schnitt die Linie der Mittelpunkte aller Kreise, die das Rohr und das dicke Kabel berühren, mit der Linie der Mittelpunkte aller Kreise, die das Rohr und das dünne Kabel berühren (zwei Ellipsen), um so die beiden Mittelpunkte der neuen Kabel zu finden. Im genannten Büchlein wird auch ein Lösungsweg mit "Hero's familiar formula" und einer mit dem Kosinussatz gezeigt. Dem Schriftsetzer sei verziehen. Das Schweizer Unternehmen Hero AG produziert nach eigenen Angaben übrigens eine "rassige, süsse Currysauce mit pürierten Bananen".

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Meine Lösungsidee beruhte auf Kreisinversion.

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meine Überlegung:

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Der Rohrmittelpunkt sei im Ursprung, den gesuchten Durchmesser nenne ich d.

Mittelpunkt des 1-cm-Kabels somit bei (0 ; 1), Mittelpunkt des 2-cm-Kabels bei (0 ; -1/2)

Distanz vom Mittelpunkt des 1-cm-Kabels zum Mittelpunkt (x ; y) eines der beiden Zusatzkabel - 1/2 = d/2

Distanz vom Mittelpunkt des 2-cm-Kabels zum Mittelpunkt (x ; y) eines der beiden Zusatzkabel - 1 = d/2

Distanz vom Ursprung zum Mittelpunkt (x ; y) eines der beiden Zusatzkabel + d/2 = 3/2

Dieses Gleichungssystem aufgelöst nach d ergibt die Lösung, sowie x = ± 6/7 und y = 9/14.

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Meine Überlegung greifen auf Parameterkurven der in Frage kommenden Kreisabschnitte zu, berechne damit den Mittelpunkt M des Berührkreises über M_iT_i (T_i Tangentenpunkte) und überlasse den Rest dem CAS

Ein 3/7 Zoll Kabel - gibt es so was?

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Sowas ähnliches hatten wir neulich hier:

https://shorturl.at/gqtUX