Aufgabe:
Seien \( -\infty<a<b<\infty, 1 \leq p<q \leq \infty, f \in C([a, b], \mathbb{R}) \). Zeigen Sie die folgende Ungleichung:
\( \|f\|_{p} \leq(b-a)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\|f\|_{q} \quad \forall f \in C([a, b], \mathbb{R}) . \)
Problem/Ansatz:
Angegebene Ungleichung soll gezeigt werden. Dies müsste, glaube ich, mit der Hölder-Ungleichung zu zeigen sein. Im Fall von \( q=\infty \) ist der in der Hölder-Ungleichung auftretende Exponent dann mit \( \frac{1}{q} \) als 0 zu interpretieren.
Die Hölder-Ungleichung lautet ja wie folgt:
Ist \( \mathcal{L}^{p}(X, \mathcal{A}, \mu) \) der Raum der \( p \)-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist \( \|\cdot\|_{p} \) die Lp-Norm, so gilt für \( f \in \mathcal{L}^{\mathcal{P}}(X, \mathcal{A}, \mu), g \in \mathcal{L}^{q}(X, \mathcal{A}, \mu) \) immer
\( \|f g\|_{1} \leq\|f\|_{p} \cdot\|g\|_{q} \)
Damit wäre:
\( \begin{aligned} \int \limits_{X}|f|^{q} d \mu=\left\||f|^{q} \cdot \mathbf{1}\right\|_{1} \leq\left\||f|^{q}\right\|_{\frac{p}{q}}\|\mathbf{1}\|_{\frac{p}{p-q}} & =\left(\int \limits_{X}\left(|f|^{q}\right)^{\frac{p}{q}} d \mu\right)^{\frac{q}{p}}\left(\int \limits_{X} \mathbf{1}^{\frac{p}{p-q}} d \mu\right)^{\frac{p-q}{p}} \\ & =\left(\int \limits_{X}|f|^{p} d \mu\right)^{\frac{q}{p}}\left(\int \limits_{X} \mathbf{1} d \mu\right)^{1-\frac{q}{p}} \\ & =\left(\int \limits_{X}|f|^{p} d \mu\right)^{\frac{q}{p}} \mu(X)^{1-\frac{q}{p}} .\end{aligned} \)
Jetzt habe ich allerdings Probleme die Notation auf die in meiner Angabe geforderte umzuschreiben und mit dem Fall q=∞!!
