Kurvenuntersuchung f(x)=x^3-6x^2+9x

Question

Ich schreibe Montag eine Mathearbeit über Kurvendiskussion und bin gerade am üben. Im grossen und ganzen versteh ich es, nur hab ich immer noch einige Fehler, ich habe z. b folgende Aufgabe berechnet,nur irgendwie ist das nicht so ganz korrekt, könnt ihr vielleicht mal drüber schauen?

F(x)=x^3-6x^2+9x
Ges.:Symmetrie,Nullstellen,extrema,Wendepunkte.

Symmetrie: keine Symmetrie

Nullstellen: f(x)=0

X(x^2-6x+9)=0 /-9

(X^2-6x)=-9. /:(-6)

X^2-x=1,5. /√

X1=1,2. X2=0. (Mir kommt da irgendwas falsch dran vor )


Extrema: F'(x)=0

3x^2-12x+9=0. /-9

3x^2-12x=-9. /:(-12)

3x^2+x=0,75. /:3

X^2+x=0,25. /√

X=0,5

(Wie führe ich einen Nachweis durch, am besten einen tabellarischen?)


Für den Wendepunkt hab ich x=2 raus, aber weiter komme ich nicht, denn wenn ich den Graph zeichne kommt etwas raus das ganicht sein kann, der Wendepunkt liegt dann nämlich ausserhalb des Graphen 0.o und ich versteht auch nicht so richtig wie man einen Nachweis führt.

Ich muss glaub ich noch viel üben :( brauch ein bisschen Unterstützung von Experten bitte.

Answer 1

 

f(x) = x³ - 6x² + 9x
Ges.:Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte.

 

Symmetrie: Keine Symmetrie, da sowohl grad- als auch ungradzahlige Exponenten von x - richtig!

 

Nullstellen:

f(x) = x³ - 6x² + 9x = x * (x² - 6x + 9)

Erste Nullstelle also x₀ = 0

x² - 6x + 9 = 0 | pq-Formel

x_1,2 = 3 ± √(9-9) = 3 ±√0

Zweite Nullstelle (doppelte Nullstelle) also x₁ = 3

 

Extrema:

1. Ableitung = 0, zweite Ableitung ≠ 0

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 0

x² - 4x + 3 = 0 | pq-Formel

x_1,2 = 2 ± √(4-1)

x₁ = 3

x₂ = 1

f''(x) = 6x - 12

f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0, also Minimum an (3|f(3)) = (3|0)

f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0, also Maximum an (1|f(1)) = (1|4)

 

Wendepunkt:

f''(x) = 0, f'''(x) ≠ 0

6x - 12 = 0 | x = 2

f'''(x) = 6 | f'''(2) = 6 ≠ 0, also Wendepunkt an (2|f(2)) = (2|2)

 

 

Besten Gruß

Comments

Stimmt danke auf die pq-formel hätte ich dummie ruhig kommen können , danke:-)
(Antworten folgen..)

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Kein Problem, sehr gern geschehen :-)

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OK ich bedanke mich ganz herzlich bei dir Brucybabe :-) 

Warst mir eine grosse Hilfe, werde in der Arbeit definitiv an dich denken√(^-^)√

Besten Dank und ich wünsche ein schönes Wochenende :-) 

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Freut mich, wenn ich helfen konnte!

Denk bitte nicht während der Arbeit an mich, sondern konzentriere Dich besser auf die Aufgaben - danach ist jeder Gedanke an mich sehr willkommen :-D

Nein, ganz im Ernst:

Auch Dir ein schönes Wochenende und viel Erfolg am Montag !!!

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kleine Anmerkung:

Keine Symmetrie ist nicht richtig. Der Graph einer kubischen Funktion ist immer punktsymmetrisch zu seiner Wendestelle(Wendepunkt).

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@sigma:

Danke, damit hast Du natürlich Recht !!

Ich glaube aber, dass in Klassenarbeiten normalerweise nur nach Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie zur y-Achse gefragt wird, deshalb habe ich die Punktsymmetrie zum Wendepunkt unterschlagen.