Zeigen Sie: Die Gleichung AX = XA hat als Lösungen X₁ = E, X_2 =0, X_3 = A, X_4 = A^-1 und X=aX_1+bX_2+ cX_3 + dX_4 …

Question

Aufgabe:

Die Matrizen A und X sind (n, n)-Matrizen und es A ist invertierbar. Zeigen Sie: Die Gleichung AX = XA hat als Lösungen X₁ = E, X_2 =0, X_3 = A, X_4 = A^-1 und X=aX_1+bX_2+ cX_3 + dX_4 mit a, b, c, d Element der Reellen Zahlen (0 sei die Matrix mit allen Einträgen gleich Null).

Comments

Du brauchst doch nur nachprüfen, dass die angegebenen Matrzen Lösungen sind. Also zum Beispiel: Gilt AE=EA?

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Bei X=aX_1+bX_2+ cX_3 + dX_4 verstehe ich nicht, wie ich vorgehen sollte.

Answer 1

$$X=aE+b0+cA+dA^{-1}$$

Wir benutzen die Assoziativität des Matrizenprodukts:

$$AX=aAE+bA0+cAA+dAA^{-1}=aA+b0+cA^2+dE$$

Analog berechnet man XA mit demselben Ergebnis.

Comments

Vielen herzlichen Dank. Mein Problem war wohl, dass ich nicht verstanden habe, wie ich AX=XA in der Aufgabe nutzen sollte.