Lösungsmenge des Gleichungssystems: x_1 + x_2 + ax_3 = 0; x_1 + ax_2 + x_3 = 3; ax_1 + x_2 + x_3 = −3

Question

Sei a ∈ R gegeben. Bestimmen Sie

mithilfe des Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

x_1 + x_2 + ax_3 = 0

x_1 + ax_2 + x_3 = 3

ax_1 + x_2 + x_3 = −3

in Abhängigkeit von der Zahl a.

Hinweis: Hier mussen mehrere Fälle unterschieden werden

Comments

Fall a= 1

x_1 + x_2 + x_3 = 0

x_1 + x_2 + x_3 = 3

x_1 + x_2 + x_3 = −3

hat keine Lösung, da nicht 3 mal eine andere Zahl rauskommen kann.

Also L={} für a = 1.

Fortsetzung: Berechne mal die Determinante deiner Matrix in Abhängigkeit von a, um weitere Fallunterscheidungen machen zu können.

Answer 1

x + y + a·z = 0
x + a·y + z = 3
a·x + y + z = -3

II - I ; III - a*I

y·(a - 1) + z·(1 - a) = 3
y·(1 - a) + z·(1 - a^2) = -3

II + I

- z·(a^2 + a - 2) = 0

Welche Möglichkeiten kann es hier für a geben und was folgt daraus für z.

Comments

Ich würde jetzt durch -z teilen und dann die pq formel anwenden

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Durch z teilen geht nur wenn z <> 0 ist.

Aber hier kann man einach den Satz vom Nullprodukt anwenden. Also gleich die Klammer Null setzen

a² + a - 2 = 0

Das gibt zwei Lösungen. Eine wurde von Lu ja schon genannt.

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Achso ok.

Ich habe noch nicht ganz verstanden warum man die 2 gleichung minus die erste und die dritte minus a*die erste

Rechnet

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Beim Additionsverfahren addiert man Vielfache zweier Gleichungen, sodass eine Unbekannte wegfällt. Wenn ich wie oben addiere Fällt das x weg.