lokales Minimum? im Punkt 1,1

Question

Prüfen SIe, ob folgende Funktion im Punkt (1,1) ein lokales minimum besitzt:

x1^3 + x2^3 - 3x1*x2 (mit x1,x2 > 0)

... ich hab die Hesse Matrix schon berechnet: ( 6x1 - 3        )
                                                                           -3    6x2


nur leider kann ichs nicht wirklich interpretieren :(

Answer 1

Hi,

ja die Hesse-Matrix ist richtig.

Setze nun (1,1) ein.

 

Damit ergibt sich

$$\begin{pmatrix} 6&-3 \\-3&6 \end{pmatrix}$$

 

Nun schau ob die Determinate größer 0 ist. (Das ist der Fall).

Zudem überzeuge Dich, dass f_xx > 0 ist  (das ist ebenfalls der Fall), denn dann liegt ein Minimum vor.

 

(Du musst eventuell vorher schauen, ob (1,1) überhaupt ein stationärer Punkt ist, oder war das schon vorgegeben?)

 

Grüße

Comments

mhh ich habe hier in meinem Skript stehen, wenn die Hesse Matrix positiv definit ist dann liegt ein lokales minimum vor.... hier ist die komplette Hesse matrix doch negativ?

 

wieso betrachten wir hier nur f_xx ?

nach einem stationären Punkt ist hier nicht gefragt?

 

vielen Dank

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Warum soll die "komplette" Matrix negativ sein? Was meinst Du überhaupt mit "komplett"?

 

Du betrachest die Determinante und f_xx. Das ist die Bedingung für Extrema ;).

 

Jein. Eventuell kann man davon ausgehen, dass es sich bei (1,1) um einen stationären Punkt handelt. Kann man davon nicht ausgehen, so muss erst untersucht werden, ob (1,1) überhaupt ein stationärer Punkt ist. Denn nur stationäre Punkte kommen für eine genauere Untersuchung mit der Hesse-Matrix bgl Extrema in Frage ;).

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Hier steht: Die Hesse Matrix ist positiv definiert, wenn alle hauptminoren ein Positives vorzeichen haben

und umgekehrt ^^

in diesem Falle wäre Sie ja negativ definiert. ?

Wir betrachten die Determinante also H1 = 6 = f_xx

egal welcher Punkt gefragt ist wir betrachten immer nur die 1 Determinante?

 

Vielen Dank :D

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Hmm,

mit "Hauptminoren" kann ich gerade nicht so viel anfangen.

Habt ihr Definitheit auch über Eigenwerte bestimmt? Da gilt, dass wenn alle Eigenwerte positiv sind (und das sind sie) ist das ganze "positiv definit".

Sollte also auch bei den Hauptminoren so rauskommen ;).


Die Determinante ist nicht 6 (oder hat das mit der "ersten Hauptminore zu tun, falls es sowas gibt?). Als ich von "Determinante" sprach, meinte ich die gesamte Matrix ;).

Neben der Definitheit über Eigenwerte kann man auch wie oben vorgehen.

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genau über die Eigenwerte... habs jetzt verstanden ;)


vielen vielen Danke :)