Beweise 4n + 3 für unendliche Anzahl von Primzahlen

Question

Hi, ich habe diese Aufgabe bekommen:

Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4n+3 für n∈ ℕ gibt.

ich hoffe ihr könnt mir helfen :)

Comments

Also {n∈ℕ¦n∈Primzahlen}?

Aber dann verstehe ich die Frage nicht, also was man beweisen soll.

 

Ansonsten habe komme ich nur auf die Idee dass 4n+3 eine Primzahl sein soll, was bei n=3 nicht der Fall ist!    
--> 4 * 3 + 3 = 12 + 3 = 15 und 15 ist nicht prim. ( T₁₅={1,3,5,15})

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Ach so, jetzt verstehe ich's. Man sollte jede Primzahl als 4n + 3 schrieben können. Also z.B. 11=4*2+3 --> n=2

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Naja. 17 kann man auch nicht als 4n + 3 schreiben.

Aber es soll unendlich viele Primzahlen geben, die sich in der Form 4n + 3 schreiben lassen.

Wie man das beweisen soll, weiß ich aber auch nicht genau. Muss man dazu auch dunächst zeigen das es überhaupt unendlich viele Primzahlen gibt oder kann das als bekannt vorausgesetzt werden?

Ich weiß, dass sich jede Primzahl > 3 in der Form 6n +- 1 schreiben lässt. Da bei den Primzahlen eh alle Zahlen ausscheiden die ein vielfaches von 2 oder 3 sind. Damit bleiben nur noch Zahlen übrig, die entweder vor oder hinter 6n liegen.

Allerdings ist nicht jede Zahl der Form 6n +- 1 eine Primzahl. Weil es eben noch andere Teiler außer 2 und 3 gibt. Gerade bei höheren Zahlen.

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Also das mit den unendlichen Primzahlen kann man soweit ich weiss voraussetzten. Das mit den unendlichen Primzahlen wurde, so glaube ich, sowieso auch noch nicht bewiesen. Also als Aussage kann man es jedoch sicher verwenden.....

Wie bei dir 6n ± 1 nicht immer Primzahlen sind, sind die 4n + 3 auch nicht nur prim (z.B. 15=4*3+3; [könnte die Einzige Ausnahme sein]).

Answer 1

Wenn man den Dirichletschen Primzahlsatz voraussetzen kann, ist klar, dass es sowohl unendlich viele Primzahlen der Form 4k+3 als auch der Form 4k+1 gibt.

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichletscher_Primzahlsatz

Leider wird dieser Satz an der angegebenen Stelle aber nicht von Grund auf bewiesen.

Comments

Es heisst, es gibt unendlich viele Primzahlen, die sich entweder mit 4k+3 oder 4k+1 schreiben lassen, jedoch keine mit beiden.

Hier noch ein Mengendiagramm dazu: