(a + b)p ≡ ap + bp (mod p). Gesucht: Beweis für jede Primzahl p.

Question

Hey ich suche einen Beweis dafür das für jede Primzahl p gilt:

(a + b)^p Ξ a^p + b^p (mod p) für alle a,b ∈ ℤ

:)

Anm. Lu: In der Überschrift wird  Ξ falsch dargestellt. Habe 'GLEICH' geschrieben.

Comments

@Lu: War hier nicht das Zeichen Equiv. ≡ statt Xi Ξ gemeint? Tatsächlich wird Ξ hier im Kommentar nicht richtig dargestellt, jedoch unten in der Antwort.

Wie ich sehe, liegt das an der Schriftart. "Trebuchet" (im Kommentar) kennt das Zeichen nicht, "Arial" (in Frage und Antwort) schon.

Answer 1

Behauptung: (a + b)^p Ξ a^p + b^p (mod p) für alle a,b ∈ ℤ

Beweis: 

 

Ξ a^p + b^p (mod p) für alle a,b ∈ ℤ

 

Latextext für allfällige Änderungen: (a+b){ \quad  } ^p =\quad { a } ^p \quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 1 \end{matrix} \right) { a } ^p-1 b\quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 2 \end{matrix} \right) { a } ^p-2 { b } ² \quad +\left( \begin{matrix} p \\ 3 \end{matrix} \right) { a } ^p-3 { b } ³ \quad …+\left( \begin{matrix} p \\ p-1 \end{matrix} \right) { a } ^\quad  { b } ^p-1 +{ b } ^p \quad \\ Da\quad man\quad aus\quad \left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right) =\frac { p! }{ k!(p-k)! } \quad den\quad Primfaktor\quad p\quad \\ nicht\quad rauskuerzen\quad kann,\quad wenn\quad 0>k<p\quad ist,\quad \\ ist\quad die\quad Summe\quad der\quad inneren\quad Summanden\quad \\ durch\quad p\quad teilbar.\quad modulo\quad p\quad gilt\quad deshalb:\quad \\ (a+b){ \quad  } ^p =\quad { a } ^p \quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 1 \end{matrix} \right) { a } ^p-1 b\quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 2 \end{matrix} \right) { a } ^p-2 { b } ² \quad +\left( \begin{matrix} p \\ 3 \end{matrix} \right) { a } ^p-3 { b } ³ \quad …+\left( \begin{matrix} p \\ p-1 \end{matrix} \right) { a } ^\quad  { b } ^p-1 +{ b } ^p \quad \\ \equiv \quad { a } ^p +{ b } ^p \quad modulo\quad p\quad q.e.d.

Comments

nur als kleine Anmerkung:
Ich glaube bei Größenangabe von k ist Tippfehler drin. 0 < k < p

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Du hast natürlich recht. Danke. Das sollte oben  0 < k < p heissen.