Behauptung: (a + b)p Ξ ap + bp (mod p) für alle a,b ∈ ℤ
Beweis:

Ξ ap + bp (mod p) für alle a,b ∈ ℤ
Latextext für allfällige Änderungen: (a+b){ \quad } p =\quad { a } p \quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 1 \end{matrix} \right) { a } p-1 b\quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 2 \end{matrix} \right) { a } p-2 { b } 2 \quad +\left( \begin{matrix} p \\ 3 \end{matrix} \right) { a } p-3 { b } 3 \quad …+\left( \begin{matrix} p \\ p-1 \end{matrix} \right) { a } \quad { b } p-1 +{ b } p \quad \\ Da\quad man\quad aus\quad \left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right) =\frac { p! }{ k!(p-k)! } \quad den\quad Primfaktor\quad p\quad \\ nicht\quad rauskuerzen\quad kann,\quad wenn\quad 0>k<p\quad ist,\quad \\ ist\quad die\quad Summe\quad der\quad inneren\quad Summanden\quad \\ durch\quad p\quad teilbar.\quad modulo\quad p\quad gilt\quad deshalb:\quad \\ (a+b){ \quad } p =\quad { a } p \quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 1 \end{matrix} \right) { a } p-1 b\quad +\quad \left( \begin{matrix} p \\ 2 \end{matrix} \right) { a } p-2 { b } 2 \quad +\left( \begin{matrix} p \\ 3 \end{matrix} \right) { a } p-3 { b } 3 \quad …+\left( \begin{matrix} p \\ p-1 \end{matrix} \right) { a } \quad { b } p-1 +{ b } p \quad \\ \equiv \quad { a } p +{ b } p \quad modulo\quad p\quad q.e.d.