Zeigen Sie, dass dann g stetig in 0 ist.

Question

Aufgabe Sei \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) beschränkt, und sei \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x \cdot f(x) & \text { für } x \neq 0, \\ 0 & \text { für } x=0 . \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass dann \( g \) stetig in 0 ist.

Answer 1

Es gilt laut Voraussetzung

\(  |f(x)| \leq C\) für \(\mathbb{R}\setminus\{0\} \) für eine Konstante \(C \geq 0\).

Damit gilt für \(x \neq 0\)

$$0\leq |g(x)| = |xf(x)| \leq C|x| \stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}0$$

Also \(\boxed{\lim_{x\to 0} g(x) = 0 = g(0)}\).

Damit is \(g(x)\) stetig in \(x=0\).