Textaufgabe zum Thema bedingte Erwartung:
Ein Insekt legt eine große Anzahl Eier \( N \sim \operatorname{Poi}(\Lambda), \Lambda>0 \). Jedes dieser Eier überlebt, unabhängig von den anderen Eiern, mit Wahrscheinlichkeit \( p \in(0,1) \). Nimm nun an, dass wir eine ganze Kolonie von eierlegenden Insekten haben. Beachte dabei, dass für jedes Insekt die Anzahl der gelegten Eier einer anderen Poisson-Verteilung folgen kann. Nimm dazu an, dass \( \Lambda \sim \operatorname{Exp}(\theta) \), wobei \( \theta>0 \) konstant. Berechne nun die mittlere Anzahl der Überlebenden eines zufällig ausgewählten Insekts.
Versuch:
Um die mittlere Anzahl der Überlebenden eines zufällig ausgewählten Insekts zu berechnen, müssen wir die bedingte Erwartung von \( N p \) gegeben \( \Lambda \) berechnen und dann den Satz der totalen Erwartung anwenden.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von \( N p \) gegeben \( \Lambda \) ist einfach eine PoissonVerteilung mit Parameter \( \Lambda p \). Dies liegt daran, dass die Anzahl der Überlebenden für jedes Ei unabhängig ist und eine Poisson-Verteilung mit Parameter \( p \) hat.
Daher ist die bedingte Erwartung von \( N p \) gegeben \( \Lambda \) gleich \( \Lambda p \). Mit Hilfe des Satzes der totalen Erwartung können wir die mittlere Anzahl der Überlebenden eines zufällig ausgewählten Insekts berechnen:
\( \mathbb{E}(Np) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(Np|\Lambda)) = \mathbb{E}(\Lambda p) = p \mathbb{E}(\Lambda) = p \frac{1}{\theta} \)
Daher ist die mittlere Anzahl der Überlebenden eines zufällig ausgewählten Insekts gleich \( p / \theta \)
Macht dieser Versuch auf diese Art und Weise Sinn? Ich würde mich auf Feedback dazu freuen und natürlich auf Verbesserungschläge :)
