Differenzialgleichung gegeben -Lösung ankreuzen, zu der der folgende Graph eine Lösung darstellt

Question

Hallo,

folgende 2 Teilaufgaben kann ich leider nicht ganz lösen, ich habe es selbst probiert und es hat nicht geklappt.

Dann habe ich versucht, es Geogebra zeichnen zu lassen - allerdings ohne Erfolg (ist die Aufgabe womöglich falsch)?

a)

Kreuzen Sie diejenige Differenzialgleichung an, zu der der folgende Graph eine Lösung darstellt. Kreuzen Sie weiter an, welche Anfangsbedingungen für das entsprechende Anfangswertproblem möglich sind.

Zur Auswahl stehen:
y' = x²y
y' = -x²y
y' = -xy²
y' = xy²

y(1) = -1
y(-1) = -1
y(0) = 4
y(-2) = 3

b)

Zur Auswahl stehen:

y' = x + y
y' = x - y
y' = -y - x
y' = y - x

y(1) = 0
y(2) = 4
y(0) = 4
y(-1) = -2

Answer 1

a) $y(x) = -\frac{2}{x^2+1}$

b) $y(x) = x-1$

Comments

Okay, danke für die Antwort.

Ich weiß nun nicht, wie ich y' berechnen soll.

y'(x) von x-1 bei b) wäre ja z.B. x aber die steht nicht zur Auswahl

bei b) wäre ja y' = x-y, nur weiß ich halt nicht, wie ich drauf kommen soll und vor allem begründen soll

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Und a) ist wahrscheinlich -2/x²+1 ...

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Ich weiß nun nicht, wie ich y' berechnen soll.

Beispiel. b)

        $\begin{aligned}y(x) &= x-1\\\implies y'(x) &= 1 = x - (x-1) = x - y(x)\end{aligned}$.

Und a) ist wahrscheinlich -2/x²+1 ...

Ja, zumindest wenn ich mir die fehlenden Klammern hinzudenke. Danke für den Hinweis, ist korrigiert.

Answer 2

Aloha :)

zu a) Aus dem Graphen lesen wir ab: (1) Die Funktion fällt für $x<0$ und steigt für $x>0$. Die Funktionswerte $y(x)$ sind alle negativ. Das heißt formal:$$y'(x)<0\text{ für }x<0\quad;\quad y'(x)>0\text{ für }x>0\quad;\quad y(x)<0\text{ für alle } x\in\mathbb R$$

Die Gleichung $y'=x^2y$ fällt weg, denn $y'(x)\le0$ für alle $x\in\mathbb R$.

Die Gleichung $y'=-x^2y$ fällt weg, denn $y'(x)\ge0$ für alle $x\in\mathbb R$.

Die Gleichung $y'=-xy^2$ fällt weg, denn $y'(x)>0$ für $x<0$.

Die Gleichung $y'=xy^2$ erfüllt alle drei oben genannten Kriterien, also ist:$\quad\pink{y'=xy^2}$

Von den angegebenen Anfangsbedingungen passen nur $\pink{y(1)=-1}$ und $\pink{y(-1)=-1}$.

Die beiden anderen scheiden aus, da ja $y(x)<0$ für alle $x\in\mathbb R$ ist.

zu b) Hier können wir die Gleichung $\pink{y(x)=x-1}$ aus dem Graphen direkt ablesen.

Daher ist $\green{y'(x)=1}$ für alle $x\in\mathbb R$ und wir können die möglichen Alternativen prüfen:$$\green{y'}=x+\pink{y}\implies \green1=x+\pink{(x-1)}=-1\quad\text{NO}$$$$\green{y'}=x-\pink{y}\implies \green1=x-\pink{(x-1)}=1\quad\checkmark$$$$\green{y'}=-\pink{y}-x\implies \green1=-\pink{(x-1)}-x=-2x+1\quad\text{NO}$$$$\green{y'}=\pink{y}-x\implies \green1=\pink{(x-1)}-x=-1\quad\text{NO}$$

Aus dem Graphen kann man erkennen, dass nur $\pink{y(1)=0}$ und $\pink{y(-1)=-2}$ als Anfangsbedingungen passen.