Aloha :)
zu a) Aus dem Graphen lesen wir ab: (1) Die Funktion fällt für \(x<0\) und steigt für \(x>0\). Die Funktionswerte \(y(x)\) sind alle negativ. Das heißt formal:$$y'(x)<0\text{ für }x<0\quad;\quad y'(x)>0\text{ für }x>0\quad;\quad y(x)<0\text{ für alle } x\in\mathbb R$$
Die Gleichung \(y'=x^2y\) fällt weg, denn \(y'(x)\le0\) für alle \(x\in\mathbb R\).
Die Gleichung \(y'=-x^2y\) fällt weg, denn \(y'(x)\ge0\) für alle \(x\in\mathbb R\).
Die Gleichung \(y'=-xy^2\) fällt weg, denn \(y'(x)>0\) für \(x<0\).
Die Gleichung \(y'=xy^2\) erfüllt alle drei oben genannten Kriterien, also ist:\(\quad\pink{y'=xy^2}\)
Von den angegebenen Anfangsbedingungen passen nur \(\pink{y(1)=-1}\) und \(\pink{y(-1)=-1}\).
Die beiden anderen scheiden aus, da ja \(y(x)<0\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist.
zu b) Hier können wir die Gleichung \(\pink{y(x)=x-1}\) aus dem Graphen direkt ablesen.
Daher ist \(\green{y'(x)=1}\) für alle \(x\in\mathbb R\) und wir können die möglichen Alternativen prüfen:$$\green{y'}=x+\pink{y}\implies \green1=x+\pink{(x-1)}=-1\quad\text{NO}$$$$\green{y'}=x-\pink{y}\implies \green1=x-\pink{(x-1)}=1\quad\checkmark$$$$\green{y'}=-\pink{y}-x\implies \green1=-\pink{(x-1)}-x=-2x+1\quad\text{NO}$$$$\green{y'}=\pink{y}-x\implies \green1=\pink{(x-1)}-x=-1\quad\text{NO}$$
Aus dem Graphen kann man erkennen, dass nur \(\pink{y(1)=0}\) und \(\pink{y(-1)=-2}\) als Anfangsbedingungen passen.
