Was kann man über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 5. Grades aussagen?

Question

Aufgabe:

3. Was kann man über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 5. Grades aussagen?

1) Es sind genau 5.

2) Es sind mind. 5.

3) Es sind höchst. 5.

4) Es ist mind. 1.

Problem/Ansatz:

Die Aussage 1) "Es sind genau 5" ist nicht korrekt, da es möglich ist, dass die Funktion weniger als 5 Nullstellen hat.

Die Aussage 2) "Es sind mind. 5" ist ebenfalls nicht korrekt, da die Funktion auch weniger als 5 Nullstellen haben kann.

Die Aussage 3) "Es sind höchstens 5" ist korrekt, da eine Funktion 5. Grades höchstens 5 Nullstellen haben kann, aber auch weniger haben kann.

Die Aussage 4) "Es ist mind. 1" ist nicht korrekt, da es durchaus ganzrationale Funktionen 5. Grades geben kann, die keine Nullstellen haben.

Ist das so richtig?

Answer 1

Aloha :)

Ein Polynom 5-ten Grades kann maximal 5 Nullstellen haben, es muss aber mindestens 1 haben.

1) FALSCH

2) FALSCH

3) RICHTIG

4) RICHTIG

Beispiel 1: \(p(x)=x^5\) hat eine Nullstelle.

Beispiel 2: \(p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) hat 5 Nullstellen.

Comments

\(p(x)=x^5+1\) hat keine Nullstelle?

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Ich war noch am Korrigieren... habs bereits korrigiert.

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Beispiel 1: \(p(x)=x^5+1\) hat keine Nullstelle.

?

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\(p(x)=x^5+1\)    hat keine Nullstelle.

Natürlich hat dieses Polynom eine reelle Nullstelle, nämlich die Zahl  -1 .