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Aufgabe 4.1. [Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus] Wir betrachten die Funk-
sinh: \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{2}-e^{-7}\right) \) und \( \cosh : \mathbb{R} \rightarrow(1, \infty), x \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{2}+e^{-7}\right) \)
a) Zeigen Sie mit einer Potenzreihenentwicklung um \( x_{0}=0 \), dass folgendes gilt:
\( \left.\sinh (x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !}\right)^{x^{2+1}} \text { umd } \cosh (x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !} x^{2 n} \text {. } \)
zunachst betrachte die Potenz reikenentwicklung Von \( \begin{array}{l} \sinh (x) \text { um } x_{0}=0: \\ \sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=\frac{1}{2} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}-\frac{1}{2} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{-x^{n}}{n !} \\ = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}-\left(-x^{2 n+1}\right) \\ = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+n) !} x^{2 n+1}\end{array} \)
nun betrachte die Potenz reihen entroicling von \( \cosh (x) \) um \( x_{0}=0 \) :
\( \cosh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\frac{1}{2} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}+\frac{1}{2} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{-x^{n}}{n !} \) \( =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !} x^{2 n}+(-x)^{2 n} \)
\( =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !} x^{2 n} \)
Aufgabe:
…
Problem/Ansatz:
