Aufgabe:

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Problem 1 Riemann-Integrierbarkeit
Seien a,b∈R mit a<b und f : [a,b]→R eine monoton fallende, beschränkte Funktion. Zeigen Sie durch die folgenden Schritte dass f Riemann-integrierbar ist (d.h. beweisen Sie den entsprechenden Teil von Theorem 6.9im Skript).
(a) Geben Sie eine uniforme Zerlegung {xi : i=0,…n} von [a,b] sowie Treppenfunktionen ϕn,ψn an, so dass ∀x∈[a,b] : ϕn(x)≤f(x)≤ψn(x). Konstruieren Sie diese Treppenfunktionen abhängig von der Feinheit der Zerlegung, so dass f gut angenähert wird, d.h., ∣f(x)−ϕn(x)∣,∣f(x)−ψn(x)∣ sollen klein sein. Diese Approximation soll besser werden wenn n größer wird.
(Hinweis: Uniforme Zerlegung bedeutet dass ∣xi−xi−1∣ gleich ist für alle i.)
(b) Berechnen Sie a∫bψn(x)dx−a∫bϕn(x)dx. Was passiert wenn die Zerlegung verfeinert wird? Bestimmen Sie den Grenzwert für n→∞.
Problem/Ansatz:
Wie geht man bei Aufgabe 1 (a) vor?