Hast du schonmal was von der Taylor-Reihe gehört?
Das ist eine Methode um eine komplizierte Funktion in der Nähe eines Entwicklungspunktes durch ein Polynom anzunähern. Die Definition lautet folgendermaßen:
$$ f ( x ) \approx f \left( x _ { 0 } \right) + f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) \cdot \left( x - x _ { 0 } \right) + \frac { f ^ { \prime \prime } \left( x _ { 0 } \right) } { 2 } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( x _ { 0 } \right) } { 6 } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 3 } + \ldots + \frac { f ^ { ( n ) } \left( x _ { 0 } \right) } { n ! } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n } + o \left( \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n } \right) $$
Das kleine o(...) bedeutet, dass nur noch Terme folgen, die bei Teilung durch (...) für x gegen x0 gegen 0 gehen.
Dieses Polynom nähert die Funktion deswegen sehr gut an, weil ihr Funktionswert und die ersten n Ableitungen mit den Werten der echten Funktion übereinstimmen.
Wenn nun die sogenannte Entwicklungsstelle x0 die Stelle 0 ist, dann nennt man die Entwicklung eine MacLaurin-Reihe.
Ein Beispiel ist die MacLaurin-Reihe der Sinusfunktion:
Es gilt:
sin(0) = 0
sin'(0) = cos(0) = 1
sin''(0) = -sin(0) = 0
sin'''(0) = -cos(0) = -1
...
Daraus folgt die Approximation:
$$ \sin ( x ) \approx x - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + o \left( x ^ { 7 } \right) $$
(Daher kommt auch die Kleinwinkelnäherung sin(x)≈x für kleine Winkel.)
