Beweise, dass f : D -> J eine Umkehrfunktion besitzt.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktionsvorschrift
f(x) := \( \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+1}} \)

(i) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D ⊂ ℝ von f an.

(ii) Sei J = f(D). Dann gilt (ohne Beweis) f(D) = [−4,1). Weisen Sie nach, dass f : D → J eine Umkehrfunktion besitzt und geben Sie die Funktionsvorschrift von \( f^{-1} \) an. Welche weiteren Eigenschaften hat \( f^{-1} \)?

Comments

Bei dem von dir angegebenen f ist D = [4,∞) und f(D) = [0,1). Das passt aber nicht zu Teil b)

Answer 1

(i) Definitionsbereich ℝ\[-1,4)

(ii) Umkehrfunktion: f^-1(x)=\( \frac{x^2+4}{1-x^2} \) ist aber nur für x≥4 Umkehrfunktion.

Comments

Oh Tut mir Leid ich habe es ausversehen falsch aufgeschrieben

Da sollte stehen

f(x) := \( \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1} \)

Wie ist die Lösung dann?

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D= (0;oo) = R+ einschließlich 0 = {x∈R|x>=0}

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Danke und wie löst man ii?

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y(√x+1)= √x-4

y√x+y-√x = -4

√x(y-1) = -4-y

√x = (-4-y)/(y-1) = (4+y)/(1-y)

x= (4+y)^2/(1-y)^2

vertauschen:

y= (4+x)^2/((1-y)^2 = f^-1(x)