Aufgabe:
Bei a.) soll der Abstand zwischen den zwei Teilräumen T0 und T1 bstimmt werden.
Problem/Ansatz: Mir ist nicht klar,wie man hier von der gegeben Definition des Teilraumes T1 auf auf den Richtungsraum U1 kommt ?
Text erkannt:
Aufgabe 3
Im \( \mathbb{R}^{3} \), versehen mit dem Standardskalarprodukt, seien die drei folgenden (affinen) Teilräume vorg
\( T_{0}:=\left\{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right\}, \quad T_{1}:=\left\{\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: 2 \cdot x_{1}-x_{2}-2 \cdot x_{3}=4\right\} \)
und
\( T_{2}:=\left\{\vec{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: \vec{x}=\lambda\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right), \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\} \)
(a) Bestimmen Sie den Abstand \( d\left(T_{0}, T_{1}\right) \) der beiden Teilräume \( T_{0} \) und \( T_{1} \).
(b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung des Schnittes \( T_{1} \cap T_{2} \).
(c) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung des Teilraumes \( T \), welcher \( T_{0} \) enthält und parallel ist.
Lösung:
(a) Es gilt
\( \begin{array}{l} T_{1}=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{3}: 2 \cdot x_{1}-x_{2}-2 \cdot x_{3}=4\right\}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)+U_{1} \\ \text { mit } \\ U_{1}=\operatorname{span}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\right), U_{1}^{\perp}=\operatorname{span}\left(\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right)\right) . \\ \end{array} \)
