Ich brauche die Ableitung dieses Bruches

Question

Aufgabe:  x³ / 2x² -8

…

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme leider nicht auf die 1. und 2. Ableitung des Bruches.

Comments

$$x^{3 }/ 2x^{2 }-8 = \frac{x^3}{2x^2} - 8 =\frac{1}{2}x-8$$und die Ableitung davon nach \(x\) ist \(1/2\). Aber das meinst Du nicht - oder?

---

Es könnte auch bedeuten: x^3/2*x^2 - 8

Answer 1

u = x^3 , u'= 3x^2

v = 2x^2-8, v' = 4x

Wende die Quotientenregel an!

oder so schreiben:

f(x) = x^3*(2x^2-8)^-1

Produktregel:

u = s.o.

v= (2x^2-8)^-1, v' = -(2x^2-8)^-2*4x

Hier zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 2

Aloha :)

Da wir 2-mal ableiten sollen, lohnt es sich, den Bruch vorher umzuformen:$$\frac{x^3}{2x^2-8}=\frac{(x^3\pink{-4x})\pink{+4x}}{2x^2-8}=\frac{x^3\pink{-4x}}{2x^2-8}\pink+\frac{\pink{4x}}{2x^2-8}=\frac{x\cdot(x^2-4)}{2\cdot(x^2-4)}+\frac{\color{blue}2x}{\color{orange}x^2-4}$$$$\phantom{\frac{x^3}{2x^2-8}}=\frac x2+\frac{\color{blue}(x+2)+(x-2)}{\color{orange}(x+2)\cdot(x-2)}=\frac x2+\frac{\color{blue}(x-2)}{\color{orange}(x+2)\cdot(x-2)}+\frac{\color{blue}(x+2)}{\color{orange}(x+2)\cdot(x-2)}$$$$\phantom{\frac{x^3}{2x^2-8}}=\frac x2+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}$$

Nach dieser kleinen Vorüberlegung können wir die Ableitungen nun sofort hinschreiben:$$\left(\frac{x^3}{2x^2-8}\right)'=\frac12-\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x-2)^2}$$$$\left(\frac{x^3}{2x^2-8}\right)''=\frac{2}{(x+2)^3}+\frac{2}{(x-2)^3}$$