Gebrochen rationale Funktion integrieren

Question

Aufgabe: Integration gebr. rational

Problem/Ansatz:

… wie Integriere ich das: f(x)= I 0,5x-6+(9:(0,25x²-2x-3)) dx

oben steht ja eine Zahl und unten ein x, wird das dann irgendwie mit Zahl * ln Betrag vom Nenner oder so ähnlich integriert?

F(x) = (0,5:2)x² -6x + ??? +c

Die Klammern mit : sollen Brüche darstellen.

!

und noch eine Frage, könnt ihr gute Seiten zur Integration empfehlen?

Mir fehlt noch eine Übersicht über die Integrations Verfahren bei e-Funtkion und gebr. rational.

Comments

Hallo,

Wolframalpha liefert:

\( 3.40168 \log (9.2915-x)+0.25 x^{2}-6 x-3.40168 \log (x+1.2915)+C \)

Da ich nichts zum Lösungsweg sagen kann, schreibe ich das als Kommentar.

:-)

Answer 1

\( \int \frac{9}{0,25 x^{2}-2 x-3} d x=9 \cdot \int \frac{d x}{0,25 x^{2}-2 x-3}=36 \cdot \int \frac{d x}{x^{2}-8 x-12} \)

\( x^{2}-8 x-12=0 \)
\( x^{2}-8 x=12 \)
\( (x-4)^{2}=12+16=28 \mid \mathrm{V} \)
1.) \( x-4=2 \sqrt{7} \)
\( x_{1}=4+2 \sqrt{7} \)
2.) \( x-4=-2 \sqrt{7} \)
\( x_{2}=4-2 \sqrt{7} \)
\( =36 \cdot \int \frac{d x}{(x-4-2 \sqrt{7}) \cdot(x-4+2 \sqrt{7})} \)
Weiter mit Partialbruchzerlegung.

Answer 2

hab hier ein Beispiel in meinen Unterlagen

∫dx/(2*x²-1*x-5)  umformen mit quadratischer Ergänzung zu 1-z²

...=2*(x²-1/2*x-5/2)

2*b=1/2 → b=1/4 → b²=1/16

=2*(x²-1/2*x+1/16-1/16-5/2)  nun -1/16 ausklammern

=2*[(x-1/4)²-41/16]

..=2*(-41/16)*[1-16/41*(x-1/4)²]

..=-41/8*{1-[Wurzel(16/41)*(x-1/4)²]²}

∫dx/(2*x²-1*x-5)=-8/41*∫dx/{1-[Wurzel(16/41)*(x-1/4)]²}

z=Wurzel(16/41)*(-1/4) → dx=dz*Wurzel(41/16)

..=-8/41*Wurzel(41/16)*∫dz/(1-z²)

..=-2/41*Wurzel(41)*artanh(z)+C

..=-2/41*artanh[Wurzel(16/41)*(x-1/4)]+C

..=-2/41*ln|[1+Wurzel(16/41)*(x-1/4)]/[1-Wurzel(16/41)*(x-1/4)]|+C

..=-2/41*ln|......|+C

is doch ganz einfach !! oder etwa nich?

Comments

einfach ist relativ