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Aufgabe:  x3 / 2x-8


Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme leider nicht auf die 1. und 2. Ableitung des Bruches.

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x3/2x28=x32x28=12x8x^{3 }/ 2x^{2 }-8 = \frac{x^3}{2x^2} - 8 =\frac{1}{2}x-8und die Ableitung davon nach xx ist 1/21/2. Aber das meinst Du nicht - oder?

Es könnte auch bedeuten: x3/2*x2 - 8

2 Antworten

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u = x3 , u'= 3x2

v = 2x2-8, v' = 4x

Wende die Quotientenregel an!

oder so schreiben:

f(x) = x3*(2x2-8)^-1

Produktregel:

u = s.o.

v= (2x2-8)^-1, v' = -(2x2-8)^-2*4x

Hier zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Aloha :)

Da wir 2-mal ableiten sollen, lohnt es sich, den Bruch vorher umzuformen:x32x28=(x34x)+4x2x28=x34x2x28+4x2x28=x(x24)2(x24)+2xx24\frac{x^3}{2x^2-8}=\frac{(x^3\pink{-4x})\pink{+4x}}{2x^2-8}=\frac{x^3\pink{-4x}}{2x^2-8}\pink+\frac{\pink{4x}}{2x^2-8}=\frac{x\cdot(x^2-4)}{2\cdot(x^2-4)}+\frac{\color{blue}2x}{\color{orange}x^2-4}x32x28=x2+(x+2)+(x2)(x+2)(x2)=x2+(x2)(x+2)(x2)+(x+2)(x+2)(x2)\phantom{\frac{x^3}{2x^2-8}}=\frac x2+\frac{\color{blue}(x+2)+(x-2)}{\color{orange}(x+2)\cdot(x-2)}=\frac x2+\frac{\color{blue}(x-2)}{\color{orange}(x+2)\cdot(x-2)}+\frac{\color{blue}(x+2)}{\color{orange}(x+2)\cdot(x-2)}x32x28=x2+1x+2+1x2\phantom{\frac{x^3}{2x^2-8}}=\frac x2+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}

Nach dieser kleinen Vorüberlegung können wir die Ableitungen nun sofort hinschreiben:(x32x28)=121(x+2)21(x2)2\left(\frac{x^3}{2x^2-8}\right)'=\frac12-\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x-2)^2}(x32x28)=2(x+2)3+2(x2)3\left(\frac{x^3}{2x^2-8}\right)''=\frac{2}{(x+2)^3}+\frac{2}{(x-2)^3}

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