Ist die Menge {fn | n ∈ N} gleichstetig?

Question

Aufgabe:

Sei (M, d) ein kompakter metrischer Raum und (fn)n∈N eine gleichmä-
ßig konvergente Folge stetiger Funktionen.

ich muss zeigen, dass die Menge {fn | n ∈ N} dann
auch gleichstetig auf M ist

Problem/Ansatz:

hallo :) Ich habe folgende Aufgabe mitgebracht. Bis jetzt habe ich mir gedacht, dass ich hier mit dem Satz von Arzela - Ascoli arbeiten kann. Ich habe mir eine Menge K(besteht aus {fn | n ∈ N} + die Grenzfunktion f(x)) definiert. Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass sie kompakt bezüglich der Maximumsnorm ist und dann ist sie gleichstetig wegen dem oben genannten Satz. Aber wie mache ich das ?

Answer 1

Es existiert der gleichmäßige Limes \(f = \lim_{n\to\infty}f_n\). \(f\) ist als stetige Funktion auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig. Das gilt natürlich für alle \(f_n\) ebenso.

Zu \(\epsilon > 0\) gibt es ein \(N_{\epsilon}\), so dass \(||f-f_n||_{\infty} <\epsilon\) für alle \(n > N_{\epsilon}\).

Damit gilt für \(n > N_{\epsilon}\)

$$|f_n(x) - f_n(y)| \leq |f_n(x) - f(y)| + |f(x) - f(y)| + |f(x) - f_n(y)|< \frac 23\epsilon + |f(x) - f(y)|$$Nun sind \(f_1,\ldots , f_{N_{\epsilon}}, f\) gleichmäßig stetig, also gibt es \(\delta_1, \ldots , \delta_{N_{\epsilon}}, \delta_f\), so dass $$|f_n(x) - f_n(y)|< \epsilon\text{ für } n=1,\ldots , N_{\epsilon} \text{ und } |f(x) - f(y)|<\frac 13\epsilon$$Setze \(\boxed{\delta = \min(\delta_1, \ldots , \delta_{N_{\epsilon}}, \delta_f)}\)

Damit gilt dann für alle \(n\in \mathbb N\):
$$|f_n(x) - f_n(y)| < \epsilon \text{ sobald } |x-y| < \delta$$ Also sind die \(f_n\) gleichgradig stetig.