Zeigen Sie, dass F dann automatisch eine lineare Abbildung sein muss.

Question

Aufgabe:

Sei F: Rⁿ → Rⁿ eine Abbildung, von der wir nur wissen, dass für alle v, w ∈ Rⁿ gilt, dass ⟨F(v), F(w)⟩ = ⟨v, w⟩.

Zeigen Sie, dass F dann automatisch eine lineare Abbildung sein muss.

Mag mir da jemand helfen? Gerne mit Lösung falls nicht zu umfangreich.

Answer 1

Hi,

Wenn F eine lineare Abbildung ist müssen ja 2 eigenschaften gelten.

1. F(v1+v2) = F(v1) + F(v2)

2. F(c*v) = c*F(v)

wenn du das jetzt in deine Voraussetzung einsetzt, erhältst du

⟨F(v1+v2), F(w)⟩ = ⟨v1 + v2, w⟩. Aufgrund der Linearität des skalarproduktes kannst du das jetzt umschreiben zu ⟨v1, w⟩ + ⟨v2, w⟩. oder im sinne von F ausgedrückt: ⟨F(v1), w⟩ + ⟨ F(v2), w⟩.

jetzt nutzen wir wieder die linearität und erhalten was wir zeigen wollten:

⟨F(v1+v2), F(w)⟩ = ⟨F(v1) + F(v2), F(w)⟩.

da das skalarprodukt ja symetrisch ist und bilinear ist es egal ob wir das für v, w oder beide zeigen.

Für das 2 vertraue ich dir mal das du das schaffst.

LG :)

Comments

was wir zeigen wollten ist ja etwas mehr. Du hättest dabei schreiben sollen, dass du auch da dem Fragesteller vertraust.

---

Hi Gast hj2166,

Fehlt da noch etwas? Hätte ihm das jetzt so abgekauft. Könntest du mir sagen wie es vollständiger wäre?

---

Es fehlt : Falls für alle x gilt, dass a·x = b·x ist, so folgt a = b.