Lineare Abbildung und Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

U ist eim m-dimensionaler linearer Unterraum in R^n & das Vektorensystem u1,…,u(m) ist davon eine Orthonormalbasis. Beweise für die Abbildung f: R^n -> R^n,
f(x) = Skalarprodukt(u1, x)* u1 + … + Skalarprdukt( u(m), x)* u(m),
folgendes:
Bild(f) = U.

Mein Ansatz: Ich habe erstmals die Definition
f(x) = Skalarprodukt(u1, x)* u1 + … + Skalarprdukt( u(m), x)* u(m), genutzt. Jetzt muss ich ja irgendwie zeigen, das diese Skalarprodukte Skalare vor den Vektoren aus dem System sind, damit ich daraus das ganze schlussfolgern kann. Die Frage ist, wie mach ich das, kann mir einer da helfen?

Answer 1

Hallo,

ich unterstelle noch, dass \(x \in \mathbb{R}^n\) ist. Dann ist \(f\) nichts anderes als die Projektion eines beliebigen Punktes \(x\) nach \(U\). D,h. jedes \(v=f(x)\) ist \(\in U\) und man kann jedes \(w \in U\) erreichen, da für jedes \(w\in U\) auch \(w\in \mathbb{R}^n\) gilt und \(w=f(w)\).

Daraus folgt dann \(\operatorname{Bild}(f)=U\).

Gruß Werner

Answer 2

\(B=\{u_1,\ldots , u_m\}\) ist Orthonormalbasis (ONB) von \(U\). Also

\(\operatorname{span}(B) = U\) (\(\operatorname{span}\) bezeichnet die lineare Hülle)

\(\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^m<u_i,x>u_i\) ist eine lineare Abbildung.

Damit ist \(\operatorname{Bild}(f)\) ein Unterraum und per Definition von \(f\) gilt

\(\operatorname{Bild}(f) \subseteq U\)

Nun gilt aber

\(f(u_i) \stackrel{B\:ist\:ONB}{=} u_i \in \operatorname{Bild}(f)\)

Also haben wir

\(U =  \operatorname{span}(B) \subseteq\operatorname{Bild}(f) \subseteq U \)

Daher: \(\operatorname{Bild}(f) = U\)