B={u1,…,um} ist Orthonormalbasis (ONB) von U. Also
span(B)=U (span bezeichnet die lineare Hülle)
f(x)=i=1∑m<ui,x>ui ist eine lineare Abbildung.
Damit ist Bild(f) ein Unterraum und per Definition von f gilt
Bild(f)⊆U
Nun gilt aber
f(ui)=BistONBui∈Bild(f)
Also haben wir
U=span(B)⊆Bild(f)⊆U
Daher: Bild(f)=U