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Aufgabe:

U ist eim m-dimensionaler linearer Unterraum in Rn & das Vektorensystem u1,…,u(m) ist davon eine Orthonormalbasis. Beweise für die Abbildung f: Rn -> Rn,
f(x) = Skalarprodukt(u1, x)* u1 + … + Skalarprdukt( u(m), x)* u(m),
folgendes:
Bild(f) = U.

Mein Ansatz: Ich habe erstmals die Definition
f(x) = Skalarprodukt(u1, x)* u1 + … + Skalarprdukt( u(m), x)* u(m), genutzt. Jetzt muss ich ja irgendwie zeigen, das diese Skalarprodukte Skalare vor den Vektoren aus dem System sind, damit ich daraus das ganze schlussfolgern kann. Die Frage ist, wie mach ich das, kann mir einer da helfen?

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2 Antworten

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Hallo,

ich unterstelle noch, dass xRnx \in \mathbb{R}^n ist. Dann ist ff nichts anderes als die Projektion eines beliebigen Punktes xx nach UU. D,h. jedes v=f(x)v=f(x) ist U\in U und man kann jedes wUw \in U erreichen, da für jedes wUw\in U auch wRnw\in \mathbb{R}^n gilt und w=f(w)w=f(w).

Daraus folgt dann Bild(f)=U\operatorname{Bild}(f)=U.

Gruß Werner

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B={u1,,um}B=\{u_1,\ldots , u_m\} ist Orthonormalbasis (ONB) von UU. Also

span(B)=U\operatorname{span}(B) = U (span\operatorname{span} bezeichnet die lineare Hülle)

f(x)=i=1m<ui,x>ui\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^m<u_i,x>u_i ist eine lineare Abbildung.

Damit ist Bild(f)\operatorname{Bild}(f) ein Unterraum und per Definition von ff gilt

Bild(f)U\operatorname{Bild}(f) \subseteq U

Nun gilt aber

f(ui)=BistONBuiBild(f)f(u_i) \stackrel{B\:ist\:ONB}{=} u_i \in \operatorname{Bild}(f)

Also haben wir

U=span(B)Bild(f)UU = \operatorname{span}(B) \subseteq\operatorname{Bild}(f) \subseteq U

Daher: Bild(f)=U\operatorname{Bild}(f) = U

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