Umkehrabbildung zu bijektiver Funktion finden.

Question

Aufgabe:

Seien m,n ∈ ℤ mit m,n ≥ 2. Zudem gelte ggT(m,n) = 1. Dann ist

f : ℤ/mnℤ → ℤ/mℤ × ℤ/nℤ, [a]_mn ↦ ([a]_m,[a]_n)

bijektiv. Das haben wir auch schon gezeigt. Nun soll ich aber die Umkehrabbildung zu f finden. Da bin ich leider etwas ratlos. Könntet ihr mir helfen, wie diese aussieht? Und ich bin mir gerade nicht mehr sicher, ob und wie man zeigen muss, dass es auch wirklich die Umkehrabbildung ist. Meine naive Idee war:

f^-1 : ℤ/mℤ × ℤ/nℤ → ℤ/mnℤ, ([a]_m,[a]_n) ↦ [a]_mn.
Jedoch denke ich nicht, dass das so stimmt. Hoffe mir kann jemand helfen. Danke im Voraus.

Answer 1

Die Elemente von \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) haben die Form \(([a]_m,[b]_n)\).

Du musst also zu jedem \(([a]_m,[b]_n) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ein \(z\in \mathbb{Z}\) mit

        \(([z]_m,[z]_n) = ([a]_m,[b]_n)\)

finden.

Comments

Ah okay. Vielen Dank. Ich überlege mal.

---

Also irgendwie komme ich nicht drauf. Es muss was damit zu tun haben, dass m und n Teilerfremd sind… aber was?

---

Gesucht ist eine Lösung \(z\) der simultanen Kongruenz

        \(\begin{aligned}z&\equiv a\mod m\\z&\equiv b\mod n\end{aligned}\)

Seien \(r_{m},r_{n}\in\mathbb{Z}\) mit \(1=r_{m}m+r_{n}n\). Solche \(r_{m},r_{n}\) existieren, weil \(1=\operatorname{ggT}(m,n)\) ist, und sie können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmt werden.

Dann ist \(z = br_mm+ar_nn\) eine Lösung der obigen simultanen Kongruenz.

---

Ah das verstehe ich. Danke sehr. Verstehe ich das richtig, dass dann die Umkehrabbildung immer auf das passende z, welches wie du gezeigt hast immer existiert, abbildet? Also auf [z]_mn??

---

Ja, das ist richtig.