Bestimme eine symmetrische Matrix A (3x3) mit:

Question

Aufgabe:

Symmetrische Matrix bestimmen

Problem/Ansatz:

Noch nie so eine Aufgabe durchgerechnet

Hallo alle zusammen,

ich bräuchte einen Rat, wie man die folgende Aufgabe angehen könnte (Kenne mich mit dem Thema aus, mir fehlt allerdings die Schlüsselinfo, um die Aufgabe zu lösen).

Aufgabe:

Bestimme eine symmetrische Matrix A (3x3) mit:

(x1 x2 x3) * ( Matrix A ) * (x1,x2,x3) = 4*(x1-x2+2*x3)^2

Meine Hypothese sei die:

(x1 x2 x3) = Spaltenvektor einer Matrix

A = gesuchte symmetrische Matrix

(x1,x2,x3) = Vektor des R^3

Lösungsansatz:

A mit seinen Werten füllen (a11 - a33) & Die einzelnen Variablen durchrechnen. Könnte man eventuell hier Standardbasisvektoren einsetzen?

Liebe Grüße!

Answer 1

===>

4x² - 8x y + 16x z + 4y² - 16y z + 16z² 

übertagen in Matrix

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}4&-4&8\\-4&4&-8\\8&-8&16\\\end{array}\right)\)

HAT App Paket

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

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Extra:

Für die, die extra ein Erklärvideo dazu bräuchten:

https://www.youtube.com/watch?v=HQ8UqFquNh0

https://www.youtube.com/watch?v=wYJAggfstyI

Nochmals alles gute & vielen Dank!

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im Grunde ganz einfach: man schreibe den Term \((x_1-x_2+2x_3)\) als inneres Produkt:$$x_1-x_2+2x_3 = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} = a^T \cdot x = x^T \cdot a\\ \implies 4(x_1-x_2+2x_3)^2 = x^T\cdot \underbrace{4\cdot  a \cdot a^T}_{=A} \cdot x$$und dann ist \(A\)$$A = 4\cdot a\cdot a^T, \quad a= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$

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Wiedermal was neues gelernt, herzlichen Dank! :D

Answer 2

Hallo

ja, auch ich würde zuerst die 3 Standardbasisvekoren verwenden und natürlich die Symmetrie. von A

Gruß lul

Comments

Alles Klar, vielen Dank! ✌️