Aloha :)
zu a) Konvergenzradius von \(P_a(x)\)
$$a_k=\frac{(-1)^k+1}{2^k}=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{wenn \(k\) ungerade}\\[1ex]\frac{1}{2^{k-1}} & \text{wenn \(k\) gerade}\end{array}\right.$$Wir führen eine neue Summenvariable \(n\in\mathbb N_0\) ein und unterscheiden damit die geraden \(k=2n\) und die ungeraden \(k=2n+1\) voneinander. Damit können wir alle \(0\)-Summanden aus der Potenzreihe entfernen:$$P_a(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{2n}x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n-1}}(x^2)^n$$Der Konvergenzradius ist:$$r_a=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{2^{2n-1}}}{\frac{1}{2^{2(n+1)-1}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{2^{2(n+1)-1}}{2^{2n-1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|4\right|=4$$Wegen des Faktors \((x^2)^n\) in jedem Summanden konvergiert die Reihe für \(x^2<4\).
Das heißt, die ursprüngliche Reihe \(P_a(x)\) konvergiert für \(\pink{x\in(-2|2)}\).
zu b) Konvergenzradius von \(P_b(x)\)
$$b_k=\frac{1}{4^{-k-(-1)^k}}=4^{k+(-1)^k}$$Der Konvergenzradius ist nun:$$r_b=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{|b_k|}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{4^{k+(-1)^k}}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{4^{1+\frac{(-1)^k}{k}}}=\frac{1}{4^{1+0}}=\pink{\frac14}\quad\checkmark$$Die Reihe \(P_b(x)\) bestizt also tatsächlich den Konvergenzradius \(\frac14\).
zu c) Bestimmung der Grenzwerte der beiden Potenzreihen
$$P_a(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n-1}}(x^2)^n=2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(x^2)^n}{(2^2)^n}=2\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x^2}{4}\right)^n=2\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{8}{4-x^2}$$Wegen \(x\in(-2|2)\) bzw. \(x^2<4\) konnten wir den Grenzwert der geometrischen Reihe bilden.
$$P_b(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty4^{k+(-1)^k}x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty4^{(-1)^k}(4x)^k=\sum\limits_{n=0}^\infty4^{(-1)^{2n}}(4x)^{2n}+\sum\limits_{n=0}^\infty4^{(-1)^{2n+1}}(4x)^{2n+1}$$$$\phantom{P_b(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty4\cdot(4x)^{2n}+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac14\cdot(4x)^{2n+1}=4\sum\limits_{n=0}^\infty(16x^2)^n+x\sum\limits_{n=0}^\infty(16x^2)^n$$$$\phantom{P_b(x)}=(4+x)\sum\limits_{n=0}^\infty(16x^2)^n=(4+x)\cdot\frac{1}{1-16x^2}=\frac{x+4}{1-16x^2}$$Wegen der Konvergenzradius \(|x|<\frac14\) können wir wieder den Grenzwert der geometrischen Reihe nutzen.