Bestimme den Konvergenzradius von P(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben sind jeweils die Folgen a_k und b_k mit

$$a_k=\frac{(-1)^k+1}{2^k}$$ und $$b_k=\frac{1}{4^{-k-(-1)^k}}$$

Wir betrachten die Potenzreihen $$P(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k$$ und $$P*(x)=\sum_{k=0}^{\infty} b_kx^k$$ mit jeweils dem Entwicklungspunkt x_0=0.

1. Bestimme den Konvergenzradius von P(x)

2. Zeige, dass P*(x) einen Konvergenzradius von r=1/4 besitzt

3. Bestimme den Grenzwert von P(x) und P*(x) in Abhängigkeit von x

Hinweis: $$x^{y^z} \text{ bedeutet } x^{(y^z)}$$

Problem/Ansatz: Der Ansatz wäre doch $$P(X)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k (x-0)^k$$

Aber wie geht es weiter?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Konvergenzradius von \(P_a(x)\)

$$a_k=\frac{(-1)^k+1}{2^k}=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{wenn \(k\) ungerade}\\[1ex]\frac{1}{2^{k-1}} & \text{wenn \(k\) gerade}\end{array}\right.$$Wir führen eine neue Summenvariable \(n\in\mathbb N_0\) ein und unterscheiden damit die geraden \(k=2n\) und die ungeraden \(k=2n+1\) voneinander. Damit können wir alle \(0\)-Summanden aus der Potenzreihe entfernen:$$P_a(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{2n}x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n-1}}(x^2)^n$$Der Konvergenzradius ist:$$r_a=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{2^{2n-1}}}{\frac{1}{2^{2(n+1)-1}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{2^{2(n+1)-1}}{2^{2n-1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|4\right|=4$$Wegen des Faktors \((x^2)^n\) in jedem Summanden konvergiert die Reihe für \(x^2<4\).

Das heißt, die ursprüngliche Reihe \(P_a(x)\) konvergiert für \(\pink{x\in(-2|2)}\).

zu b) Konvergenzradius von \(P_b(x)\)

$$b_k=\frac{1}{4^{-k-(-1)^k}}=4^{k+(-1)^k}$$Der Konvergenzradius ist nun:$$r_b=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{|b_k|}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{4^{k+(-1)^k}}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{4^{1+\frac{(-1)^k}{k}}}=\frac{1}{4^{1+0}}=\pink{\frac14}\quad\checkmark$$Die Reihe \(P_b(x)\) bestizt also tatsächlich den Konvergenzradius \(\frac14\).

zu c) Bestimmung der Grenzwerte der beiden Potenzreihen

$$P_a(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n-1}}(x^2)^n=2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(x^2)^n}{(2^2)^n}=2\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x^2}{4}\right)^n=2\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{8}{4-x^2}$$Wegen \(x\in(-2|2)\) bzw. \(x^2<4\) konnten wir den Grenzwert der geometrischen Reihe bilden.

$$P_b(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty4^{k+(-1)^k}x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty4^{(-1)^k}(4x)^k=\sum\limits_{n=0}^\infty4^{(-1)^{2n}}(4x)^{2n}+\sum\limits_{n=0}^\infty4^{(-1)^{2n+1}}(4x)^{2n+1}$$$$\phantom{P_b(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty4\cdot(4x)^{2n}+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac14\cdot(4x)^{2n+1}=4\sum\limits_{n=0}^\infty(16x^2)^n+x\sum\limits_{n=0}^\infty(16x^2)^n$$$$\phantom{P_b(x)}=(4+x)\sum\limits_{n=0}^\infty(16x^2)^n=(4+x)\cdot\frac{1}{1-16x^2}=\frac{x+4}{1-16x^2}$$Wegen der Konvergenzradius \(|x|<\frac14\) können wir wieder den Grenzwert der geometrischen Reihe nutzen.

Answer 2

\(a_k=\frac{(-1)^k+1}{2^k}\)

Vielleicht hilft beim ersten schon:

a_k=0 für ungerades k und a_k=2 für gerades k.

==> \(P(X)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k (x-0)^k = \sum_{i=0}^{\infty}2^{1-2i} (x-0)^{2i} \)