Wie berechne ich dieses Integral? ∫[-1^1] x^n dx = 0 für ungerade n.

Question

1.1 Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{2} x^{3} d x \).

1.2 Begründen Sie die Gültigkeit folgender Aussage:

Wenn der Graph einer Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{n}, n \in \mathbb{N} \), punktsymmetrisch bezüg des Koordinatenursprungs ist, dann gilt: \( \int \limits_{-1}^{1} x^{n} d x=0 \).

Answer 1

∫_o² x^3 dx = 1/4 x^4 |_o² = 1/4 2^4 - 1/4 0^4 = 4 - 0 = 4

f(x) = x^n ist punktsymmetrisch bezüglich 0, genau dann wenn n ungerade ist.

∫_-1¹ x^n dx = 1/(n+1) x^{n+1} |_-1¹ 

= 1/(n+1) (-1)^{n+1} - 1/(n+1) 1^{n+1}     |n+1 gerade

=1/(n+1) - 1/(n+1)  = 0 qed.