a Aufgabe:
Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper und \( n, m \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie
1. \( \left(A^{\top}\right)^{\top}=A \) für alle \( A \in \mathbb{K}^{n \times m} \).
2. \( (A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top} \) für alle \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times m} \).
3. \( (\alpha A)^{\top}=\alpha A^{\top} \) für alle \( A \in \mathbb{K}^{n \times m} \) und \( \alpha \in \mathbb{K} \).
4. \( (A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top} \) für alle \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times m} \).
Mein Ansatz für die Aufgabe ist:
1. \( \operatorname{Um}\left(A^{\top}\right)^{\top}=A \) für alle \( A \in \mathbb{K}^{n \times m} \) zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix. Wir zeigen, dass für jedes Element \( a_{i j} \) in der Matrix \( A \), gilt: \( \left(A^{\top}\right)_{i j}^{\top}=a_{i j} \)
2. Um \( (A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top} \) für alle \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times m} \) zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix und die Matrixaddition. Wir zeigen, dass für jedes Element \( c_{i j} \) in der Matrix \( C=A+B \), gilt: \( c_{i j}^{\top}=a_{i j}^{\top}+b_{i j}^{\top} \), wobei \( a_{i j} \) und \( b_{i j} \) Elemente von \( A \) bzw. \( B \) sind.
3. Um \( (\alpha A)^{\top}=\alpha A^{\top} \) für alle \( A \in \mathbb{K}^{n \times m} \) und \( \alpha \in \mathbb{K} \) zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix und die skalare Multiplikation von Matrizen. Wir zeigen, dass für jedes Element \( d_{i j} \) in der Matrix \( D=\alpha A \), gilt: \( d_{i j}^{\top}=\alpha a_{i j}^{\top} \), wobei \( a_{i j} \) ein Element von \( A \) ist.
4. \( \operatorname{Um}(A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top} \) für alle \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times m} \) zu zeigen, betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix und die Matrixmultiplikation. Wir zeigen, dass für jedes Element \( e_{i j} \) in der Matrix \( E=A B \), gilt: \( e_{i j}^{\top}=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{i k}^{\top} a_{k j}^{\top} \), wobei \( a_{i j} \) und \( b_{i j} \) Elemente von \( A \) bzw. \( B \) sind.
