Aloha :)
Gegeben sind die Funktionen$$f(t)=\binom{\cos(t)}{\sin(t)}\quad;\quad g(x;y)=e^{xy^2}$$
1) Bei der direkten Ableitung von \((g\circ f)\) kommst du um die Verwendung der eindimensionalen Kettenregel nicht herum::$$(g\circ f)(t)=g(\cos(t),\sin(t))=e^{\cos(t)\cdot\sin^2(t)}$$$$(g\circ f)'(t)=\underbrace{e^{\cos(t)\cdot\sin^2(t)}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(-\sin(t)\cdot\sin^2(t)+\cos(t)\cdot2\sin(t)\cos(t))}_{\text{innere Abl.}}$$$$(g\circ f)'(t)=e^{\cos(t)\cdot\sin^2(t)}\sin(t)\left(2\cos^2(t)-\sin^2(t)\right)$$
2) Mit der mehrdimensionalen Kettenregel müssen die Jacobi-Matrizen multipliziert werden:$$(g\circ f)'(t)=J_g(f(t))\cdot J_f(t)=\begin{pmatrix}e^{xy^2}y^2 & e^{xy^2}2xy\end{pmatrix}_{{x=\cos(t)}\atop{y=\sin(t)}}\cdot\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}$$$$\phantom{(g\circ f)'(t)}=\begin{pmatrix}e^{\cos(t)\sin^2(t)}\sin^2(t) & e^{\cos(t)\sin^2(t)}2\cos(t)\sin(t)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}$$$$\phantom{(g\circ f)'(t)}=e^{\cos(t)\sin^2(t)}\sin^2(t)\cdot(-\sin(t))+e^{\cos(t)\sin^2(t)}2\cos(t)\sin(t)\cdot\cos(t)$$$$\phantom{(g\circ f)'(t)}=e^{\cos(t)\sin^2(t)}\left(-\sin^3(t)+2\cos^2(t)\sin(t)\right)$$$$\phantom{(g\circ f)'(t)}=e^{\cos(t)\sin^2(t)}\sin(t)\left(2\cos^2(t)-\sin^2(t)\right)$$
