Inverse Matrix mit Hinweis auf Hermitesche Matrix berechnen

Question

Die Eingangsdaten \( x(n) \) des Systems sollen nun gemäß folgender Vorschrift aus den eigentlichen Nutzdaten \( d(n) \) gebildet werden:
\( \mathbf{F d} \models \mathbf{x} ; \quad \underbrace{\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & j & -1 & -j \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -j & -1 & j \end{array}\right]}_{\mathbf{F}} \underbrace{\left[\begin{array}{l} d(0) \\ d(1) \\ d(2) \\ d(3) \end{array}\right]}_{\mathbf{d}}=\underbrace{\left[\begin{array}{c} x(0) \\ x(1) \\ x(2) \\ x(3) \end{array}\right]}_{\mathbf{x}} \quad j: \text { imaginäre Einheit } \)

a) Geben Sie \( \mathbf{F}^{-1} \) an. Tipp: Berechnen Sie zunächst \( \mathbf{F F}^{H} \).

Für \( \mathbf{F}^{H} \) habe ich erstmal

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -j & -1 & j \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & j & -1 & -j\end{array}\right) \)

und mit F multipliziert erhalte ich 4-mal die Einehitsmatrix kann das stimmen?

Weil für \( \mathbf{F}^{-1} \) gibt mir Wolframalpha\(  \frac{1}{4} \mathbf{F}^{H} \) aus

Answer 1

F*F^H = 4E

==>  F*0,25*F^H = E   | von links mal F^(-1)

==>     E*0,25*F^H = F^(-1) * E

==>    0,25*F^H = F^(-1) 

Comments

Achso ja klar Matrix mal ihrer inversen gleich Einheitsmatrix

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Kannst du mir noch beim verstehen von der nächsten Teilaufagbe helfen ?

Was für eine Transformation stellt die Matrix \( \mathbf{F}^{H} \) dar? Was für eine Transformation ist die Matrix \( \frac{1}{4} \mathbf{F} \) ?

Weil ich vermute mal, dass die Inverse von \( \frac{1}{4} \mathbf{F} \) grade \( \mathbf{F}^{H} \) ist, aber was für eine Transformation ist das dann ?

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Das weiß ich auch nicht.