Herleitung von Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Unter der Voraussetzung, dass der Erwartungswert von einer
\( \mathbb{N}_{0} \)- wertigen Zufallsvariable \( X \) existiert, soll gezeigt werden:

\(\mathbb{E}[X]=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(X \geq n) .\)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Erwartungswert, Herleitung als Summe

Stichworte: herleitung,erwartungswert,wahrscheinlichkeit

Hallo mathelounge,

ich muss bei meiner aktuellen Aufgabe zeigen, dass
                                                                              
 E(X) =  _{i= 0} ∑ ∞ P({ X ≥ i })

gilt, habe aber leider keinen Ansatz dafür, könnte mir jemand helfen?

X soll eine ℕ-wertige Zufallsvariable sein.

Answer 1

Hallo,

wir gehen mal vorsichtig die Reihe für den Erwartungswert an:

$$\sum_{i=1}^n ip_i=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^i1\right)p_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^np_i=\sum_{j=1}^nP(j\leq X\leq n)$$

Jetzt können wir n gegen Unendlch konvergieren lassen und sehen die Behauptung.