Grenzwertberechnung von Summe: ∑((1+2^n)/3^n)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert von \( S=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{3^{n}} \)

 ∑((1+2^n)/3^n)

Als Antwort kommt 9/2 heraus. Ich komme jedoch nicht auf diesen Wert.

Answer 1

Teile deine Summe in zwei geometrische Summen auf mit Hilfe von folgender Umformung.

(1 + 2^n)/ 3^n = 1/3^n + 2^n/3^n = (1/3)^n + (2/3)^n

Nun bei beiden Summen die Formel für geometrische Reihen anwenden. Das kannst du bestimmt selbst.

∑((1+2ⁿ)/3ⁿ) =  ∑((1/3)ⁿ +  ∑(2/3)ⁿ

= 1/(1-1/3) + 1/(1-2/3) = 1/(2/3) + 1/(1/3) = 3/2 + 3/1 = 4.5