Grenzwertberechnung Reihe zu (4^n - (-1)^n 3^{n+1})/7^n

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n}-(-1)^{n} 3^{n+1}}{7^{n}} \)

Answer 1

spalte die Reihe in zwei geometrische Reihen auf.$$\sum_{n=0}^\infty\frac{4^n-(-1)^n\cdot3^{n+1}}{7^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac47\right)^n-3\cdot\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\cdot\left(\frac37\right)^n$$$$=\frac1{1-\frac47}-\frac3{1+\frac37}=\frac7{30}.$$