Aufgabe:
Text erkannt:
Für welche Anfangswerte existiert nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz genau eine Lösung für die folgenden Differezialgleichungen, für welche Anfangswerte können keine Aussagen mit dem Satz getroffen werden?
i) Anfangswerte \( x_{0}, y\left(x_{0}\right), y^{\prime}\left(x_{0}\right) \) für
\( y^{\prime \prime}=\tan (y)+\sqrt[3]{x} \)
ii) Anfangswerte \( t_{0},\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right) \) für
\( \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=y^{2}+\sqrt[3]{t} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\sqrt[3]{x} \end{array} \)
Hinweis zu i): Schreiben Sie die Differentialgleichung in ein System von Differentialgleichungen um.
Problem/Ansatz:
Die Lösung lautet y(x) = π. Um zu zeigen, dass es keine weitere Lösung gibt, nehmen wir an, dass es eine weitere Lösung y_2(x) gibt. Dann ist z(x) = y_1(x) - y_2(x) eine Lösung der homogenen Gleichung z’ - xe^πz(z - π)^2 = 0 mit z(0) = 0 für i), ii) verstehe ich nicht
Sicher bin ich mir aber echt nicht.
es reicht wohl, wenn man die Stetigkeit von f und die Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitung von f nach dem zweiten Argument zeigt. Aber ich weiß nicht wie ich das hier anwenden soll.
Ich hoffe jemand gibt mir eine Schritt für Schritt anleitung wie man auf die Lösung kommt. Wäre echt super^^
