Berechnen Sie sämtliche Glieder der Taylorreihe der Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie sämtliche Glieder der Taylorreihe der Funktion

$$f: (0, \infty) x (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1,x_2)= \frac{1}{x_1+x_2}$$ am Punkt x=(1,1)^T

Problem/Ansatz:

Da muss ich doch zuerst die ersten Ableitungen von f bilden oder?

Answer 1

Es isst ziemlich müsig, dass per Ableitungen ausrechnen zu wollen.

Daher hält man Ausschau, ob man die Funktion auf eine bekannte Potenzreihe zurückführen kann.

Ein Kandidat ist natürlich die geometrische Reihe

$$\frac 1{1-t} = \sum_{n=0}^\infty t^n \text{ für } |t| < 1$$

Wir müssen nur noch deine Funktion so massieren, dass sie so aussieht.

Der Entwicklungspunkt ist (1,1). Also muss die Taylorentwicklung Potenzen von

$x_1-1$ und $x_2-1$ enthalten.

Los geht's:

$$\frac 1{x_1+x_2} = \frac 1{2 + (x_1-1)+(x_2-1)}$$

$$= \frac 12 \cdot \frac 1{1 - \left[- \frac 12 \left((x_1-1)+(x_2-1)\right)\right ] }$$

$$\stackrel{\text{geometrische Reihe}}{=}\frac 12\sum_{n=0}^\infty \left[- \frac 12 \left((x_1-1)+(x_2-1)\right)\right ]^n$$

$$\stackrel{\text{binomische Formel}}{=} \boxed{ \frac 12\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom nk (x_1-1)^k(x_2-1)^{n-k} }$$